関数 $y = 3\sin{x}\tan{x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\sin{x}\tan{x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ であるから、関数は $y = 3\sin{x}\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = 3\frac{\sin^2{x}}{\cos{x}}$ と書き換えられます。

関数の商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いて微分します。ここで $u = 3\sin^2{x}$、 $v = \cos{x}$ とおくと、

$u' = 3(2\sin{x}\cos{x}) = 6\sin{x}\cos{x}$

$v' = -\sin{x}$

となります。したがって、

$y' = \frac{(6\sin{x}\cos{x})(\cos{x}) - (3\sin^2{x})(-\sin{x})}{\cos^2{x}}$

$= \frac{6\sin{x}\cos^2{x} + 3\sin^3{x}}{\cos^2{x}}$

$= \frac{3\sin{x}(2\cos^2{x} + \sin^2{x})}{\cos^2{x}}$

$= \frac{3\sin{x}(\cos^2{x} + \cos^2{x} + \sin^2{x})}{\cos^2{x}}$

$= \frac{3\sin{x}(\cos^2{x} + 1)}{\cos^2{x}}$

$= 3\sin{x}\left(1 + \frac{1}{\cos^2{x}}\right)$

$= 3\sin{x}(1 + \sec^2{x})$

$= 3\sin{x} + 3\sin{x}\sec^2{x}$

$= 3\sin{x} + 3\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}$

3. 最終的な答え

$y' = 3\sin x + 3\frac{\sin x}{\cos^2 x}$