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## 問題の解答

算数有理化平方根計算
2025/6/2
## 問題の解答
画像に写っている問題のうち、以下の問題を解きます。
**(1) 18−118\frac{1}{\sqrt{8}} - \frac{1}{\sqrt{18}}**
**(2) 13−312+127\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{12}} + \frac{1}{\sqrt{27}}**
**(3) 11−2−11+2\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{1+\sqrt{2}}**
**(4) 12−3+12+3\frac{1}{2-\sqrt{3}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}}**
**(5) 5+35−3+5−35+3\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}**
**(6) 10−610+6+10+610−6\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}**
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1. 問題の内容

与えられた数式を計算し、簡単にします。
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2. 解き方の手順

**(1) 18−118\frac{1}{\sqrt{8}} - \frac{1}{\sqrt{18}}**
* 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2}、18=32\sqrt{18} = 3\sqrt{2}なので、式は122−132\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{3\sqrt{2}}となります。
* 通分して計算します。
122−132=3−262=162\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{3 - 2}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}}
* 分母を有理化します。
162=1⋅262⋅2=212\frac{1}{6\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{12}
**(2) 13−312+127\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{12}} + \frac{1}{\sqrt{27}}**
* 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3}、27=33\sqrt{27} = 3\sqrt{3}なので、式は13−323+133\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{3}{2\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}}となります。
* 通分して計算します。
13−323+133=6−9+263=−163\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{3}{2\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{6 - 9 + 2}{6\sqrt{3}} = \frac{-1}{6\sqrt{3}}
* 分母を有理化します。
−163=−1⋅363⋅3=−318\frac{-1}{6\sqrt{3}} = \frac{-1 \cdot \sqrt{3}}{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{18}
**(3) 11−2−11+2\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{1+\sqrt{2}}**
* 通分して計算します。
11−2−11+2=(1+2)−(1−2)(1−2)(1+2)=221−2=−22\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2}) - (1-\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}}{1 - 2} = -2\sqrt{2}
**(4) 12−3+12+3\frac{1}{2-\sqrt{3}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}}**
* 通分して計算します。
12−3+12+3=(2+3)+(2−3)(2−3)(2+3)=44−3=4\frac{1}{2-\sqrt{3}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{4}{4 - 3} = 4
**(5) 5+35−3+5−35+3\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}**
* 通分して計算します。
5+35−3+5−35+3=(5+3)2+(5−3)2(5−3)(5+3)\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}
* 分子を展開します。
(5+3)2=5+215+3=8+215(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}
(5−3)2=5−215+3=8−215(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}
* 分母を展開します。
(5−3)(5+3)=5−3=2(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 5 - 3 = 2
* 式を整理します。
(8+215)+(8−215)2=162=8\frac{(8 + 2\sqrt{15}) + (8 - 2\sqrt{15})}{2} = \frac{16}{2} = 8
**(6) 10−610+6+10+610−6\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}**
* 通分して計算します。
10−610+6+10+610−6=(10−6)2+(10+6)2(10+6)(10−6)\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{10}-\sqrt{6})^2 + (\sqrt{10}+\sqrt{6})^2}{(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})}
* 分子を展開します。
(10−6)2=10−260+6=16−415(\sqrt{10}-\sqrt{6})^2 = 10 - 2\sqrt{60} + 6 = 16 - 4\sqrt{15}
(10+6)2=10+260+6=16+415(\sqrt{10}+\sqrt{6})^2 = 10 + 2\sqrt{60} + 6 = 16 + 4\sqrt{15}
* 分母を展開します。
(10+6)(10−6)=10−6=4(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6}) = 10 - 6 = 4
* 式を整理します。
(16−415)+(16+415)4=324=8\frac{(16 - 4\sqrt{15}) + (16 + 4\sqrt{15})}{4} = \frac{32}{4} = 8
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3. 最終的な答え

**(1) 212\frac{\sqrt{2}}{12}**
**(2) −318-\frac{\sqrt{3}}{18}**
**(3) −22-2\sqrt{2}**
**(4) 44**
**(5) 88**
**(6) 88**

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