$AB = AC = 8$ である二等辺三角形 $ABC$ があり、辺 $BC$ 上に点 $P$ がある。$\angle BAP = \theta$, $\angle PAC = 2\theta$, $\cos\theta = \frac{7}{8}$ であるとき、以下の問いに答えよ。 (1) $BC$ の長さを求めよ。 (2) $BP:PC$ を求めよ。 (3) $AP$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$AB = AC = 8$ である二等辺三角形 $ABC$ があり、辺 $BC$ 上に点 $P$ がある。$\angle BAP = \theta$, $\angle PAC = 2\theta$, $\cos\theta = \frac{7}{8}$ であるとき、以下の問いに答えよ。

(1) $BC$ の長さを求めよ。

(2) $BP:PC$ を求めよ。

(3) $AP$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $BC$ の長さを求める。

まず、$\cos\theta = \frac{7}{8}$ より、$\sin\theta$ を求める。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ なので、$\sin^2\theta = 1 - (\frac{7}{8})^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{15}{64}$

したがって、$\sin\theta = \frac{\sqrt{15}}{8}$ (∵ $0 < \theta < \pi/2$ より $\sin\theta > 0$)

次に、$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{8} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7\sqrt{15}}{32}$

$\angle BAC = \angle BAP + \angle PAC = \theta + 2\theta = 3\theta$

二等辺三角形 $ABC$ より $\angle ABC = \angle ACB = \frac{\pi - 3\theta}{2}$

$\sin3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta = 3\cdot\frac{\sqrt{15}}{8} - 4\cdot(\frac{\sqrt{15}}{8})^3 = \frac{3\sqrt{15}}{8} - 4\cdot\frac{15\sqrt{15}}{512} = \frac{3\sqrt{15}}{8} - \frac{15\sqrt{15}}{128} = \frac{48\sqrt{15} - 15\sqrt{15}}{128} = \frac{33\sqrt{15}}{128}$

余弦定理より

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB\cdot AC\cos3\theta$

$\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta = 4\cdot(\frac{7}{8})^3 - 3\cdot\frac{7}{8} = 4\cdot\frac{343}{512} - \frac{21}{8} = \frac{343}{128} - \frac{336}{128} = \frac{7}{128}$

$BC^2 = 8^2 + 8^2 - 2\cdot 8\cdot 8\cdot\frac{7}{128} = 64 + 64 - \frac{896}{128} = 128 - 7 = 121$

$BC = \sqrt{121} = 11$

(2) $BP:PC$ を求める。

正弦定理より、$\frac{BP}{\sin\theta} = \frac{AP}{\sin B}$ および $\frac{PC}{\sin 2\theta} = \frac{AP}{\sin C}$

$\frac{BP}{PC} = \frac{\sin\theta}{\sin 2\theta} \cdot \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin\theta}{\sin 2\theta} = \frac{\sin\theta}{2\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{2\cos\theta} = \frac{1}{2\cdot\frac{7}{8}} = \frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7}$

$BP:PC = 4:7$

(3) $AP$ の長さを求める。

$BP = \frac{4}{11} BC = \frac{4}{11} \cdot 11 = 4$

$PC = \frac{7}{11} BC = \frac{7}{11} \cdot 11 = 7$

三角形 $ABP$ において、余弦定理より

$AP^2 = AB^2 + BP^2 - 2AB\cdot BP\cos B = 8^2 + 4^2 - 2\cdot 8\cdot 4\cos B = 64+16-64\cos B = 80 - 64\cos B$

$\angle ABC = \angle ACB = \frac{\pi-3\theta}{2}$

$\cos B = \cos(\frac{\pi}{2}-\frac{3}{2}\theta) = \sin(\frac{3}{2}\theta)$

$\cos3\theta = \frac{7}{128}$

$\cos\theta = \frac{7}{8}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{15}}{8}$

$AP^2 = 16$

3. 最終的な答え

(1) $BC = 11$

(2) $BP:PC = 4:7$

(3) $AP = 4$