与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 5k)$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 5k)$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、シグマ記号を分配して、それぞれの項を個別に計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} (k^2 - 5k) = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 5 \sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n-1} k$ の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

これらの公式を $n-1$ に適用します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)(n)(2n-2+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$

これらを元の式に戻します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 - 5 \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - 5 \frac{(n-1)n}{2}$

共通因子 $\frac{(n-1)n}{2}$ でくくります。

$\frac{(n-1)n}{2} (\frac{2n-1}{3} - 5) = \frac{(n-1)n}{2} (\frac{2n-1 - 15}{3}) = \frac{(n-1)n}{2} (\frac{2n-16}{3}) = \frac{(n-1)n}{2} \frac{2(n-8)}{3}$

$= \frac{(n-1)n(n-8)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{(n-1)n(n-8)}{3}$