任意の奇素数 $p$ に対して、以下の条件を満たすアーベル多様体 $A$ が存在するかを問う問題です。 * $A$ は $\mathbb{Q}$ 上定義されている。 * $A$ の次元 $g$ は任意（有限）でよい。 * $\mathrm{End}_{\mathbb{Q}}(A) \cong \mathbb{Z}$. * $\# A(\mathbb{F}_p) = p+1$.

1. 問題の内容

任意の奇素数 $p$ に対して、以下の条件を満たすアーベル多様体 $A$ が存在するかを問う問題です。

* $A$ は $\mathbb{Q}$ 上定義されている。

* $A$ の次元 $g$ は任意（有限）でよい。

* $\mathrm{End}_{\mathbb{Q}}(A) \cong \mathbb{Z}$.

* $\# A(\mathbb{F}_p) = p+1$.

2. 解き方の手順

この問題は、任意の奇素数 $p$ に対して、指定された条件を満たすアーベル多様体が存在するかどうかを問うものです。これは、数論幾何における存在問題であり、一般に難しい問題です。

まず、$A$ が $\mathbb{Q}$ 上定義されたアーベル多様体で、$\mathrm{End}_{\mathbb{Q}}(A) \cong \mathbb{Z}$ であるという条件は、$A$ の自己準同型環が整数環と同型であることを意味します。これは、$A$ が虚数乗法を持たないことを示唆しています。

次に、$\# A(\mathbb{F}_p) = p+1$ という条件は、$A$ の $\mathbb{F}_p$ 上の点の数が $p+1$ であることを意味します。これは、$A$ の L 関数に関連します。特に、$A$ が楕円曲線の場合、$a_p = p+1 - \# A(\mathbb{F}_p)$ と定義されるので、この場合 $a_p = 0$ となります。

もし $A$ が楕円曲線であるならば、問題は $a_p = 0$ となる楕円曲線が存在するか、という問いになります。これは実は存在することが知られています。例えば、楕円曲線 $y^2 = x^3 + 1$ は $p \equiv 2 \pmod{3}$ であるような素数 $p$ に対して $a_p = 0$ を満たします。

一般のアーベル多様体の場合も同様の議論ができると考えられますが、証明はより複雑になります。

3. 最終的な答え

はい、そのようなアーベル多様体は存在します。例えば、楕円曲線 $y^2 = x^3 + 1$ は条件を満たすアーベル多様体の一例です。より一般に、任意の奇素数 $p$ に対して条件を満たすアーベル多様体が存在すると考えられます。