$520x \equiv 1 \pmod{17}$ を満たす $x$ を求める問題です。

以下に、問題3の解答を示します。

1. 問題の内容

$520x \equiv 1 \pmod{17}$ を満たす $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$520$ を $17$ で割った余りを計算します。

$520 = 17 \cdot 30 + 10$ なので、$520 \equiv 10 \pmod{17}$ です。

したがって、与えられた合同式は

$10x \equiv 1 \pmod{17}$

と書き換えられます。

次に、$10$ の $17$ を法とする逆元を求めます。つまり、$10y \equiv 1 \pmod{17}$ となる $y$ を探します。

$10y \equiv 1 \pmod{17}$ を満たす $y$ を見つけるために、拡張ユークリッドの互除法を用いるか、あるいは $10$ に $1$ から $16$ までの数をかけて $17$ で割った余りが $1$ になるものを探します。

$10 \cdot 1 = 10 \pmod{17}$

$10 \cdot 2 = 20 \equiv 3 \pmod{17}$

$10 \cdot 3 = 30 \equiv 13 \pmod{17}$

$10 \cdot 4 = 40 \equiv 6 \pmod{17}$

$10 \cdot 5 = 50 \equiv 16 \pmod{17}$

$10 \cdot 6 = 60 \equiv 9 \pmod{17}$

$10 \cdot 7 = 70 \equiv 2 \pmod{17}$

$10 \cdot 8 = 80 \equiv 12 \pmod{17}$

$10 \cdot 9 = 90 \equiv 5 \pmod{17}$

$10 \cdot 10 = 100 \equiv 15 \pmod{17}$

$10 \cdot 11 = 110 \equiv 8 \pmod{17}$

$10 \cdot 12 = 120 \equiv 1 \pmod{17}$

よって、$10 \cdot 12 \equiv 1 \pmod{17}$ であるから、$10$ の $17$ を法とする逆元は $12$ です。

したがって、$10x \equiv 1 \pmod{17}$ の両辺に $12$ を掛けると、

$12 \cdot 10x \equiv 12 \cdot 1 \pmod{17}$

$120x \equiv 12 \pmod{17}$

$x \equiv 12 \pmod{17}$

3. 最終的な答え

$x \equiv 12 \pmod{17}$