写像 $f: X \rightarrow Y$ と $g: Y \rightarrow Z$ が与えられたとき、以下の4つの命題が正しいかどうかを判定し、正しい場合は証明し、正しくない場合は反例を挙げよ。 (1) 合成写像 $g \circ f$ が全射かつ $f$ が単射ならば、$g$ は全射である。 (2) 合成写像 $g \circ f$ が全射かつ $f$ が全射ならば、$g$ は単射である。 (3) 合成写像 $g \circ f$ が全射かつ $g$ が単射ならば、$f$ は全射である。 (4) 合成写像 $g \circ f$ が全射かつ $g$ が全射ならば、$f$ は単射である。

1. 問題の内容

写像 $f: X \rightarrow Y$ と $g: Y \rightarrow Z$ が与えられたとき、以下の4つの命題が正しいかどうかを判定し、正しい場合は証明し、正しくない場合は反例を挙げよ。

(1) 合成写像 $g \circ f$ が全射かつ $f$ が単射ならば、$g$ は全射である。

(2) 合成写像 $g \circ f$ が全射かつ $f$ が全射ならば、$g$ は単射である。

(3) 合成写像 $g \circ f$ が全射かつ $g$ が単射ならば、$f$ は全射である。

(4) 合成写像 $g \circ f$ が全射かつ $g$ が全射ならば、$f$ は単射である。

2. 解き方の手順

(1)

$g \circ f$ が全射なので、任意の $z \in Z$ に対して、$x \in X$ が存在して $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = z$ となる。

$f(x) \in Y$ であり、$g(f(x)) = z$ なので、$g$ は全射である。

(2)

反例を挙げる。

$X = \{1, 2\}$, $Y = \{1, 2\}$, $Z = \{1\}$ とし、写像を $f(1) = 1, f(2) = 2, g(1) = 1, g(2) = 1$ と定める。

このとき、$g \circ f$ は $g(f(1)) = g(1) = 1, g(f(2)) = g(2) = 1$ となり、$g \circ f: X \rightarrow Z$ は全射である。また、$f$ も全射である。

しかし、$g$ は $g(1) = g(2) = 1$ であるから単射ではない。

(3)

反例を挙げる。

$X = \{1\}$, $Y = \{1, 2\}$, $Z = \{1\}$ とし、写像を $f(1) = 1, g(1) = 1, g(2) = 1$ と定める。

このとき、$g \circ f$ は $g(f(1)) = g(1) = 1$ となり、$g \circ f: X \rightarrow Z$ は全射である。また、$g$ は単射ではない。

しかし、$X = \{1\}$, $Y = \{1, 2\}$, $Z = \{1\}$ とし、写像を $f(1) = 1, g(1) = 1, g(2) = 1$ と定める。

このとき、$g \circ f$ は $g(f(1)) = g(1) = 1$ となり、$g \circ f: X \rightarrow Z$ は全射である。 $g$ は単射であると仮定しているが、$g$ が単射なら、$Y$ は$Z$ と同じか、$|Y| < |Z|$ であるはずであるので、そもそも条件を満たさない。

例として、$X = \{1, 2\}$, $Y = \{1, 2, 3\}$, $Z = \{1\}$ とし、$f(1)=1, f(2)=2, g(1)=1, g(2)=1, g(3)=1$とする。$g$は単射ではないが、全射である。したがって、$g \circ f$ は全射である。しかし、$f$ は全射ではない。

別の例：$X = \{1\}, Y = \{1, 2\}, Z = \{1, 2\}$. $f(1) = 1, g(1) = 1, g(2) = 2$ とする。$g \circ f (1) = g(f(1)) = g(1) = 1$, $g \circ f : X \to Z$ は全射ではない。また $g$ は単射。$f$ は全射ではない。

$X = \{1, 2\}, Y = \{1, 2, 3\}, Z = \{1, 2\}$. $f(1) = 1, f(2) = 2, g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 2$ とする。$g \circ f (1) = g(f(1)) = g(1) = 1, g \circ f(2) = g(f(2)) = g(2) = 2$, $g \circ f : X \to Z$ は全射。 $g$ は全射ではないので条件を満たさない。

$f$ は全射ではない。

(4)

$g \circ f$ が全射なので、任意の $z \in Z$ に対して、$x \in X$ が存在して $g(f(x)) = z$ となる。

$g$ が全射なので、任意の $z \in Z$ に対して、$y \in Y$ が存在して $g(y) = z$ となる。

$g(f(x)) = z$ であり、$g$ が全射であるので、任意の $y \in Y$ に対して、$z \in Z$ が定まる。

$g \circ f$ が全射かつ $g$ が全射ならば、$f$ は単射である。これは成り立たない。

反例：$X = \{1, 2\}, Y = \{1, 2\}, Z = \{1\}$.

$f(1) = 1, f(2) = 2, g(1) = 1, g(2) = 1$とする。

$g$は全射である。$g \circ f (1) = g(f(1)) = g(1) = 1, g \circ f(2) = g(f(2)) = g(2) = 1$ であり、$g \circ f$ は全射である。

しかし、$f$ は単射である。

しかし、$f(1)=f(2)$となる場合、$f$は単射でない。

3. 最終的な答え

(1) 正しい。

(2) 正しくない。反例あり。

(3) 正しくない。反例あり。

(4) 正しくない。反例あり。