実数 $\alpha, \beta, \gamma$ が与えられており、以下の関係式を満たしています。 $\alpha + \beta + \gamma = p$ $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$ $\alpha\beta\gamma = r$ (1) $p=2, q=r+1$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも1つは1であることを示してください。 (2) $p=3, q=3$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ はすべて1であることを示してください。

1. 問題の内容

実数 $\alpha, \beta, \gamma$ が与えられており、以下の関係式を満たしています。

$\alpha + \beta + \gamma = p$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$

$\alpha\beta\gamma = r$

(1) $p=2, q=r+1$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも1つは1であることを示してください。

(2) $p=3, q=3$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ はすべて1であることを示してください。

2. 解き方の手順

(1) $p=2, q=r+1$ のとき。

$\alpha, \beta, \gamma$ を解とする3次方程式を考えます。

$x^3 - px^2 + qx - r = 0$

$x^3 - 2x^2 + (r+1)x - r = 0$

$(x-1)(x^2 - x + r) = 0$

したがって、$x=1$ はこの方程式の解の一つです。

つまり、$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも1つは1です。

(2) $p=3, q=3$ のとき。

$\alpha, \beta, \gamma$ を解とする3次方程式を考えます。

$x^3 - px^2 + qx - r = 0$

$x^3 - 3x^2 + 3x - r = 0$

$p = \alpha + \beta + \gamma = 3$

$q = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3$

$r = \alpha\beta\gamma$

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) + (\gamma - 1) = \alpha + \beta + \gamma - 3 = 3 - 3 = 0$

$(\alpha - 1)(\beta - 1) + (\beta - 1)(\gamma - 1) + (\gamma - 1)(\alpha - 1) = \alpha\beta - \alpha - \beta + 1 + \beta\gamma - \beta - \gamma + 1 + \gamma\alpha - \gamma - \alpha + 1 = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha - 2(\alpha + \beta + \gamma) + 3 = 3 - 2(3) + 3 = 0$

$(\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) = \alpha\beta\gamma - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) + (\alpha + \beta + \gamma) - 1 = r - 3 + 3 - 1 = r - 1$

ここで、$x = \alpha - 1$, $y = \beta - 1$, $z = \gamma - 1$ とおくと、

$x + y + z = 0$

$xy + yz + zx = 0$

$xyz = r - 1$

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 0$

$x^2 + y^2 + z^2 = 0$

$x, y, z$ は実数なので、$x = y = z = 0$ となります。

したがって、$\alpha - 1 = 0$, $\beta - 1 = 0$, $\gamma - 1 = 0$

よって、$\alpha = \beta = \gamma = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも1つは1である。

(2) $\alpha = \beta = \gamma = 1$