問題は、与えられた行列AとBの固有値と固有ベクトルを求めることです。 行列Aは $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$ 行列Bは $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた行列AとBの固有値と固有ベクトルを求めることです。

行列Aは

$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$

行列Bは

$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列Aの固有値と固有ベクトルを求める。

固有方程式: $|A - \lambda I| = 0$を解く。

ここで、$I$は単位行列で、$\lambda$は固有値です。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 & -3 \\ 2 & 2-\lambda & -6 \\ 2 & 2 & -6-\lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (-1-\lambda)((2-\lambda)(-6-\lambda) - (-6)(2)) - 2(2(-6-\lambda) - (-6)(2)) + (-3)(2(2) - (2-\lambda)(2))$

$= (-1-\lambda)(-12 - 2\lambda + 6\lambda + \lambda^2 + 12) - 2(-12 - 2\lambda + 12) + (-3)(4 - 4 + 2\lambda)$

$= (-1-\lambda)(\lambda^2 + 4\lambda) - 2(-2\lambda) - 3(2\lambda)$

$= -\lambda^2 - 4\lambda - \lambda^3 - 4\lambda^2 + 4\lambda - 6\lambda$

$= -\lambda^3 - 5\lambda^2 - 6\lambda = -\lambda(\lambda^2 + 5\lambda + 6) = -\lambda(\lambda + 2)(\lambda + 3)$

固有値は$\lambda_1 = 0, \lambda_2 = -2, \lambda_3 = -3$

固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 0$の場合:

$(A - 0I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y - 3z = 0$

$2x + 2y - 6z = 0$

$x + y - 3z = 0$

$x = 3z - y$

$3z - y + y - 3z = 0$

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = -2$の場合:

$(A + 2I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + 2y - 3z = 0$

$2x + 4y - 6z = 0$

$2x + 2y - 4z = 0$

$x + y - 2z = 0$

$y = 2z - x$

$x + 2(2z - x) - 3z = 0$

$x + 4z - 2x - 3z = 0$

$-x + z = 0$, $x = z$

$y = 2z - z = z$

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_3 = -3$の場合:

$(A + 3I)v_3 = 0$

$\begin{pmatrix} 2 & 2 & -3 \\ 2 & 5 & -6 \\ 2 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 2y - 3z = 0$

$2x + 5y - 6z = 0$

$2x + 2y - 3z = 0$

$3y - 3z = 0$

$y = z$

$2x + 2z - 3z = 0$

$2x - z = 0$

$z = 2x$

$y = 2x$

$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

(2) 行列Bの固有値と固有ベクトルを求める。

固有方程式: $|B - \lambda I| = 0$を解く。

$B - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 3 \\ 0 & -1 & 5-\lambda \end{pmatrix}$

$|B - \lambda I| = (1-\lambda)((1-\lambda)(5-\lambda) - (-1)(3)) = (1-\lambda)(5 - \lambda - 5\lambda + \lambda^2 + 3) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 8) = (1-\lambda)(\lambda - 2)(\lambda - 4)$

固有値は$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 4$

固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 1$の場合:

$(B - I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3y - z = 0$

$3z = 0$

$-y + 4z = 0$

$z = 0$

$y = 0$

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = 2$の場合:

$(B - 2I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 3y - z = 0$

$-y + 3z = 0$

$y = 3z$

$-x + 9z - z = 0$

$-x + 8z = 0$

$x = 8z$

$v_2 = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_3 = 4$の場合:

$(B - 4I)v_3 = 0$

$\begin{pmatrix} -3 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x + 3y - z = 0$

$-3y + 3z = 0$

$-y + z = 0$

$y = z$

$-3x + 3z - z = 0$

$-3x + 2z = 0$

$3x = 2z$

$x = \frac{2}{3}z$

$v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列Aの固有値と固有ベクトル:

固有値: $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = -2, \lambda_3 = -3$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

(2) 行列Bの固有値と固有ベクトル:

固有値: $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 4$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$