数列 $4, 2, x, y$ の各項の逆数をとった数列 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}$ が等差数列であるとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $4, 2, x, y$ の各項の逆数をとった数列 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}$ が等差数列であるとき、$x$ と $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列では、隣り合う項の差が一定である。つまり、等差数列 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}$ の公差を $d$ とすると、次の式が成り立つ。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = d$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} = d$

$\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = d$

まず、公差 $d$ を求める。

$d = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

次に、$\frac{1}{x}$ を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2} + d = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

したがって、$x = \frac{4}{3}$

最後に、$\frac{1}{y}$ を求める。

$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + d = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

したがって、$y = 1$

3. 最終的な答え

$x = \frac{4}{3}$

$y = 1$