2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3m - 9 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つような $m$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3m - 9 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つような $m$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの虚数解を持つための条件は、判別式 $D$ が負であることです。判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

今回の2次方程式 $x^2 - mx + m^2 - 3m - 9 = 0$ において、$a = 1$, $b = -m$, $c = m^2 - 3m - 9$ です。

したがって、判別式 $D$ は

$D = (-m)^2 - 4(1)(m^2 - 3m - 9)$

$D = m^2 - 4m^2 + 12m + 36$

$D = -3m^2 + 12m + 36$

2次方程式が異なる2つの虚数解を持つためには、$D < 0$ である必要があります。

$-3m^2 + 12m + 36 < 0$

両辺を $-3$ で割ると (不等号の向きが変わります)

$m^2 - 4m - 12 > 0$

この不等式を解くために、まず $m^2 - 4m - 12 = 0$ を解きます。

$(m - 6)(m + 2) = 0$

よって、$m = 6$ または $m = -2$ です。

$m^2 - 4m - 12 > 0$ は、放物線 $y = m^2 - 4m - 12$ が $y > 0$ となる範囲を求めることと同じです。

$m < -2$ または $m > 6$

3. 最終的な答え

$m < -2$ または $m > 6$