次の関数を求めよ。 (1) 関数 $y = (x-1)^2 + 1$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したグラフをもつ関数 (2) 関数 $y = \frac{1}{x-1} + 1$ のグラフを $y$ 軸に関して対称移動したグラフをもつ関数 (3) 関数 $y = \sqrt{2x+1}$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフをもつ関数

1. 問題の内容

次の関数を求めよ。

(1) 関数 $y = (x-1)^2 + 1$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したグラフをもつ関数

(2) 関数 $y = \frac{1}{x-1} + 1$ のグラフを $y$ 軸に関して対称移動したグラフをもつ関数

(3) 関数 $y = \sqrt{2x+1}$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフをもつ関数

2. 解き方の手順

(1) $x$軸に関して対称移動する場合、$y$ を $-y$ に置き換えます。

元の関数は $y = (x-1)^2 + 1$ なので、 $-y = (x-1)^2 + 1$ となります。

したがって、$y = -(x-1)^2 - 1$ となります。

(2) $y$軸に関して対称移動する場合、$x$ を $-x$ に置き換えます。

元の関数は $y = \frac{1}{x-1} + 1$ なので、$y = \frac{1}{-x-1} + 1$ となります。

したがって、$y = \frac{1}{-(x+1)} + 1 = -\frac{1}{x+1} + 1$ となります。

(3) 原点に関して対称移動する場合、$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えます。

元の関数は $y = \sqrt{2x+1}$ なので、 $-y = \sqrt{2(-x)+1}$ となります。

したがって、$y = -\sqrt{-2x+1}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -(x-1)^2 - 1$

(2) $y = -\frac{1}{x+1} + 1$

(3) $y = -\sqrt{-2x+1}$