以下の4つの指数関数の逆関数である対数関数を求める問題です。 1. $y = 3^x$

1. 問題の内容

以下の4つの指数関数の逆関数である対数関数を求める問題です。

1. $y = 3^x$

2. $y = 2 \cdot 3^x$

3. $y = 2^{x+1}$

4. $y = -2^{x+1} + 1$

2. 解き方の手順

逆関数を求めるには、まず $x$ と $y$ を入れ替え、その後 $y$ について解きます。

対数の定義 $a^x = y \Leftrightarrow x = \log_a y$ を利用します。

1. $y = 3^x$ の場合：

$x$ と $y$ を入れ替えて $x = 3^y$ となります。

対数の定義から $y = \log_3 x$ となります。

2. $y = 2 \cdot 3^x$ の場合：

$x$ と $y$ を入れ替えて $x = 2 \cdot 3^y$ となります。

$3^y = \frac{x}{2}$

対数の定義から $y = \log_3 \frac{x}{2}$ となります。

対数の性質を用いて $y = \log_3 x - \log_3 2$ と変形することもできます。

3. $y = 2^{x+1}$ の場合：

$x$ と $y$ を入れ替えて $x = 2^{y+1}$ となります。

対数の定義から $y+1 = \log_2 x$ となります。

よって $y = \log_2 x - 1$ となります。

4. $y = -2^{x+1} + 1$ の場合：

$x$ と $y$ を入れ替えて $x = -2^{y+1} + 1$ となります。

$2^{y+1} = 1 - x$

対数の定義から $y+1 = \log_2 (1 - x)$ となります。

よって $y = \log_2 (1 - x) - 1$ となります。

3. 最終的な答え

1. $y = \log_3 x$

2. $y = \log_3 \frac{x}{2}$ (または $y = \log_3 x - \log_3 2$)

3. $y = \log_2 x - 1$

4. $y = \log_2 (1 - x) - 1$