与えられた行列 $ \begin{pmatrix} a & b & c \\ a & -b & c \\ a & 0 & d \end{pmatrix} $ が直交行列となるように、$a, b, c, d$ の値を決定してください。

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{pmatrix}

a & b & c \\

a & -b & c \\

a & 0 & d

\end{pmatrix}

$$

が直交行列となるように、$a, b, c, d$ の値を決定してください。

2. 解き方の手順

行列が直交行列であるとは、その転置行列と元の行列の積が単位行列になることを意味します。つまり、各列ベクトルが互いに直交し、かつノルム（長さ）が1である必要があります。

まず、各列ベクトルの直交性から条件を導きます。

第1列と第2列の直交性:

$a^2 - ab = 0$

$a(a-b) = 0$

$a=0$ または $a=b$

第1列と第3列の直交性:

$ac + ac + ad = 0$

$2ac + ad = 0$

$a(2c + d) = 0$

$a=0$ または $2c = -d$

第2列と第3列の直交性:

$bc - bc = 0$

$0 = 0$

これは常に成り立つ。

次に、各列ベクトルのノルムが1である条件を導きます。

第1列のノルム:

$a^2 + a^2 + a^2 = 1$

$3a^2 = 1$

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

第2列のノルム:

$b^2 + (-b)^2 + 0 = 1$

$2b^2 = 1$

$b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

第3列のノルム:

$c^2 + c^2 + d^2 = 1$

$2c^2 + d^2 = 1$

条件 $a=0$の場合、第1列のノルムが1にならないため、$a=0$は不適。

従って、$a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$。

このとき、$a=b$より、$a \neq b$。

次に、$a(a-b) = 0$より、$a=b$ は成り立たないが、

$2ac+ad = 0$より、$a \neq 0$なので、$2c+d = 0$から$d=-2c$

$2c^2 + d^2 = 1$より、

$2c^2 + (-2c)^2 = 1$

$2c^2 + 4c^2 = 1$

$6c^2 = 1$

$c = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$

$d = -2c = \mp \frac{2}{\sqrt{6}} = \mp \frac{\sqrt{6}}{3}$

以上のことから、$a,b,c,d$の候補は以下の通りです。

行列が直交行列である条件は、$A^T A = I$ (単位行列) です。

$a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 = 1$ より、$a = \pm 1/\sqrt{3}$.

$b^2 + (-b)^2 + 0 = 2b^2 = 1$ より、$b = \pm 1/\sqrt{2}$.

$c^2 + c^2 + d^2 = 2c^2 + d^2 = 1$.

また、各列が直交する必要があるので、$2ac + ad = 0$ より、$2c + d = 0$ なので、$d = -2c$.

よって、$2c^2 + 4c^2 = 6c^2 = 1$ なので、$c = \pm 1/\sqrt{6}$.

なので、$d = \mp 2/\sqrt{6} = \mp \sqrt{2/3}$.

しかし、$a(a - b) = a^2 - ab = 0$である必要があります。

$a \neq 0$から、$a = b$となります。

そうすると、$a = b = 1/\sqrt{3}$または、$a = b = -1/\sqrt{3}$。

このとき、$2b^2 = 1$は満たされないため、このような条件を満たす直交行列は存在しません。

題意より、与えられた行列は直交行列とならない。

3. 最終的な答え

この問題の条件下では、与えられた行列を直交行列にする $a, b, c, d$ の値は存在しません。