SENSEI AI
About App

与えられた行列が直交行列であることを示す問題です。行列を$A$とすると、$A$は $A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \cos \beta \sin \alpha & \cos \beta \cos \alpha & -\sin \beta \\ \sin \beta \sin \alpha & \sin \beta \cos \alpha & \cos \beta \end{pmatrix}$ で与えられます。

代数学線形代数行列直交行列転置行列行列の積
2025/6/18

1. 問題の内容

与えられた行列が直交行列であることを示す問題です。行列をAAとすると、AAは
$A = \begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\cos \beta \sin \alpha & \cos \beta \cos \alpha & -\sin \beta \\
\sin \beta \sin \alpha & \sin \beta \cos \alpha & \cos \beta
\end{pmatrix}$
で与えられます。

2. 解き方の手順

行列AAが直交行列であるためには、ATA=IA^T A = I（IIは単位行列）が成り立つことを示す必要があります。ここで、ATA^TはAAの転置行列です。
まず、ATA^Tを求めます。
$A^T = \begin{pmatrix}
\cos \alpha & \cos \beta \sin \alpha & \sin \beta \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \beta \cos \alpha & \sin \beta \cos \alpha \\
0 & -\sin \beta & \cos \beta
\end{pmatrix}$
次に、ATAA^T Aを計算します。
$A^T A = \begin{pmatrix}
\cos \alpha & \cos \beta \sin \alpha & \sin \beta \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \beta \cos \alpha & \sin \beta \cos \alpha \\
0 & -\sin \beta & \cos \beta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\
\cos \beta \sin \alpha & \cos \beta \cos \alpha & -\sin \beta \\
\sin \beta \sin \alpha & \sin \beta \cos \alpha & \cos \beta
\end{pmatrix}$
ATAA^T Aの各要素を計算します。
(1,1)要素: cos⁡2α+cos⁡2βsin⁡2α+sin⁡2βsin⁡2α=cos⁡2α+sin⁡2α(cos⁡2β+sin⁡2β)=cos⁡2α+sin⁡2α=1\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1
(1,2)要素: −cos⁡αsin⁡α+cos⁡βsin⁡αcos⁡βcos⁡α+sin⁡βsin⁡αsin⁡βcos⁡α=−cos⁡αsin⁡α+cos⁡αsin⁡α(cos⁡2β+sin⁡2β)=−cos⁡αsin⁡α+cos⁡αsin⁡α=0-\cos \alpha \sin \alpha + \cos \beta \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha \sin \beta \cos \alpha = -\cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha \sin \alpha (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) = -\cos \alpha \sin \alpha + \cos \alpha \sin \alpha = 0
(1,3)要素: 0−cos⁡βsin⁡αsin⁡β+sin⁡βsin⁡αcos⁡β=00 - \cos \beta \sin \alpha \sin \beta + \sin \beta \sin \alpha \cos \beta = 0
(2,1)要素: −sin⁡αcos⁡α+cos⁡βcos⁡αcos⁡βsin⁡α+sin⁡βcos⁡αsin⁡βsin⁡α=−sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α(cos⁡2β+sin⁡2β)=−sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=0-\sin \alpha \cos \alpha + \cos \beta \cos \alpha \cos \beta \sin \alpha + \sin \beta \cos \alpha \sin \beta \sin \alpha = -\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) = -\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha = 0
(2,2)要素: sin⁡2α+cos⁡2βcos⁡2α+sin⁡2βcos⁡2α=sin⁡2α+cos⁡2α(cos⁡2β+sin⁡2β)=sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta \cos^2 \alpha + \sin^2 \beta \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
(2,3)要素: 0−cos⁡βcos⁡αsin⁡β+sin⁡βcos⁡αcos⁡β=00 - \cos \beta \cos \alpha \sin \beta + \sin \beta \cos \alpha \cos \beta = 0
(3,1)要素: 0−sin⁡βcos⁡βsin⁡α+cos⁡βsin⁡βsin⁡α=00 - \sin \beta \cos \beta \sin \alpha + \cos \beta \sin \beta \sin \alpha = 0
(3,2)要素: 0−sin⁡βcos⁡βcos⁡α+cos⁡βsin⁡βcos⁡α=00 - \sin \beta \cos \beta \cos \alpha + \cos \beta \sin \beta \cos \alpha = 0
(3,3)要素: 0+sin⁡2β+cos⁡2β=10 + \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1
よって、$A^T A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = I$
したがって、AAは直交行列です。

3. 最終的な答え

与えられた行列は直交行列である。

「代数学」の関連問題

与えられた問題は、総和記号（シグマ）を用いて表された数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=2}^{n} (k-1)$ を計算します。

数列総和シグマ公式
2025/6/18

$\sum_{k=2}^{n} (k-1)$ を計算します。

数列シグマ級数
2025/6/18

3次方程式 $2x^3 + ax^2 - 4x + b = 0$ が $x=1$ を2重解として持つとき、定数 $a, b$ の値と、他の解 $\alpha$ を求める問題です。

3次方程式解の公式因数分解重解係数比較
2025/6/18

2次方程式 $x^2 - 2(m+1)x + m + 7 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値と、その時の重解を求めよ。

二次方程式判別式重解解の公式
2025/6/18

与えられた多項式 $P(x) = 3x^2 + 2x - 4$ に対して、$P(1)$, $P(3)$, $P(-2)$ の値をそれぞれ求める問題です。

多項式式の値代入
2025/6/18

$\sum_{k=2}^{n} k(k-1)$ を計算する問題です。

数列シグマ和の計算公式
2025/6/18

$\sum_{k=2}^{n} k(k-1)$ を計算する問題です。

数列シグマ計算公式
2025/6/18

与えられた2次関数のグラフの軸と頂点を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 2x - 1$ (2) $y = -2x^2 - 8x - 6$ (3) $y = \frac{1}{3}x^2 ...

二次関数平方完成グラフ軸頂点
2025/6/18

$p$を実数の定数とする。二次方程式 $x^2 + x + p = 0$ について、 (1) $p=2$のときの解を求める。 (2) 虚数解を持つような$p$の範囲を求める。 (3) 虚数解$\alp...

二次方程式判別式解と係数の関係虚数解
2025/6/18

自然数 $n$ に対して、次の式を $n$ の式で表せ。 $\qquad {}_nC_0 + n {}_nC_1 + n^2 {}_nC_2 + \cdots + n^{n-1} {}_nC_{n-1...

二項定理組み合わせ数列数式
2025/6/18