等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$a_3 = 4$, $S_4 = 20$ のとき、次の問いに答えよ。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公差を求めよ。 (2) $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$a_3 = 4$, $S_4 = 20$ のとき、次の問いに答えよ。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項と公差を求めよ。

(2) $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$, 公差を $d$ とすると、

$a_3 = a + 2d = 4$

$S_4 = \frac{4}{2}(2a + (4-1)d) = 2(2a + 3d) = 20$

すなわち、$2a + 3d = 10$

この２つの式を連立させて解く。

$a + 2d = 4$ より $2a + 4d = 8$

$2a + 3d = 10$

辺々引くと $d = -2$

$a + 2(-2) = 4$ より $a = 8$

(2) $S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$ に $a = 8$, $d = -2$ を代入すると

$S_n = \frac{n}{2} (2(8) + (n-1)(-2)) = \frac{n}{2} (16 - 2n + 2) = \frac{n}{2} (18 - 2n) = n(9-n) = 9n - n^2$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 8, 公差: -2

(2) $S_n = -n^2 + 9n$