与えられた4つの指数関数の逆関数である対数関数を求める問題です。 1. $y = 3^x$

1. 問題の内容

与えられた4つの指数関数の逆関数である対数関数を求める問題です。

1. $y = 3^x$

2. $y = 2 \cdot 3^x$

3. $y = 2^{x+1}$

4. $y = -2^{x+1} + 1$

2. 解き方の手順

逆関数を求める一般的な手順は以下の通りです。

1. 与えられた関数 $y = f(x)$ において、$x$ と $y$ を入れ替えます。

2. 入れ替えた式を $y$ について解きます。

3. 得られた $y$ を $f^{-1}(x)$ と書き換えます。（逆関数を表す記号）

それぞれの関数について逆関数を求めます。

1. $y = 3^x$ の場合

* $x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = 3^y$

* $y$ について解きます。

$y = \log_3 x$

したがって、$y=3^x$ の逆関数は $y = \log_3 x$ です。

2. $y = 2 \cdot 3^x$ の場合

* $x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = 2 \cdot 3^y$

* $y$ について解きます。

$\frac{x}{2} = 3^y$

$y = \log_3 \frac{x}{2}$

$y = \log_3 x - \log_3 2$

したがって、$y = 2 \cdot 3^x$ の逆関数は $y = \log_3 x - \log_3 2$ です。

3. $y = 2^{x+1}$ の場合

* $x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = 2^{y+1}$

* $y$ について解きます。

$y+1 = \log_2 x$

$y = \log_2 x - 1$

したがって、$y = 2^{x+1}$ の逆関数は $y = \log_2 x - 1$ です。

4. $y = -2^{x+1} + 1$ の場合

* $x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = -2^{y+1} + 1$

* $y$ について解きます。

$x - 1 = -2^{y+1}$

$1 - x = 2^{y+1}$

$y + 1 = \log_2 (1-x)$

$y = \log_2 (1-x) - 1$

したがって、$y = -2^{x+1} + 1$ の逆関数は $y = \log_2 (1-x) - 1$ です。

3. 最終的な答え

1. $y = 3^x$ の逆関数： $y = \log_3 x$

2. $y = 2 \cdot 3^x$ の逆関数： $y = \log_3 x - \log_3 2$

3. $y = 2^{x+1}$ の逆関数： $y = \log_2 x - 1$

4. $y = -2^{x+1} + 1$ の逆関数： $y = \log_2 (1-x) - 1$