次の連立方程式を解きます。 (1) $ \begin{cases} 2x-y=1 \\ 2x^2-y^2+3y=4 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x+y=2 \\ x^2+xy+y^2=5 \end{cases} $

1. 問題の内容

次の連立方程式を解きます。

(1)

$$

\begin{cases}

2x-y=1 \\

2x^2-y^2+3y=4

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

x+y=2 \\

x^2+xy+y^2=5

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1)

まず、一つ目の式 $2x - y = 1$ から $y$ を $x$ で表します。

$y = 2x - 1$

これを二つ目の式 $2x^2 - y^2 + 3y = 4$ に代入します。

$2x^2 - (2x-1)^2 + 3(2x-1) = 4$

$2x^2 - (4x^2 - 4x + 1) + 6x - 3 = 4$

$2x^2 - 4x^2 + 4x - 1 + 6x - 3 = 4$

$-2x^2 + 10x - 4 = 4$

$-2x^2 + 10x - 8 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

$x = 1$ または $x = 4$

$x = 1$ のとき $y = 2(1) - 1 = 1$

$x = 4$ のとき $y = 2(4) - 1 = 7$

(2)

まず、一つ目の式 $x + y = 2$ から $y$ を $x$ で表します。

$y = 2 - x$

これを二つ目の式 $x^2 + xy + y^2 = 5$ に代入します。

$x^2 + x(2 - x) + (2 - x)^2 = 5$

$x^2 + 2x - x^2 + 4 - 4x + x^2 = 5$

$x^2 - 2x + 4 = 5$

$x^2 - 2x - 1 = 0$

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき $y = 2 - (1 + \sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2}$

$x = 1 - \sqrt{2}$ のとき $y = 2 - (1 - \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1)

$(x, y) = (1, 1), (4, 7)$

(2)

$(x, y) = (1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}), (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$