次の方程式を解いてください。 15) $5^{2x-3} = 125$ 16) $(\frac{1}{2})^{3x+1} = 8$ 17) $4^x - 2^{x+1} - 8 = 0$ 18) $3^{x+1} = (\frac{1}{9})^{x-2}$

1. 問題の内容

次の方程式を解いてください。

15) $5^{2x-3} = 125$

16) $(\frac{1}{2})^{3x+1} = 8$

17) $4^x - 2^{x+1} - 8 = 0$

18) $3^{x+1} = (\frac{1}{9})^{x-2}$

2. 解き方の手順

15)

まず、125を5の累乗で表します。$125 = 5^3$ なので、方程式は $5^{2x-3} = 5^3$ となります。

指数部分を比較して、$2x-3 = 3$ を得ます。

$2x = 6$

$x = 3$

16)

まず、8を2の累乗で表します。$8 = 2^3$ なので、方程式は $(\frac{1}{2})^{3x+1} = 2^3$ となります。

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ より、$(2^{-1})^{3x+1} = 2^3$

$2^{-3x-1} = 2^3$

指数部分を比較して、$-3x-1 = 3$ を得ます。

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

17)

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ と変形します。また、$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$ と変形します。

すると、方程式は $(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0$ となります。

$y = 2^x$ とおくと、$y^2 - 2y - 8 = 0$ となります。

$(y-4)(y+2) = 0$

$y = 4$ または $y = -2$

$2^x = 4$ または $2^x = -2$

$2^x = 4$ のとき、$2^x = 2^2$ より $x=2$

$2^x = -2$ となる実数 $x$ は存在しないので、$x=2$ のみが解です。

18)

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$ なので、方程式は $3^{x+1} = (3^{-2})^{x-2}$ となります。

$3^{x+1} = 3^{-2(x-2)}$

$3^{x+1} = 3^{-2x+4}$

指数部分を比較して、$x+1 = -2x+4$ を得ます。

$3x = 3$

$x = 1$

3. 最終的な答え

15) $x=3$

16) $x = -\frac{4}{3}$

17) $x=2$

18) $x=1$