画像に示された指数に関する計算問題および方程式の問題を解き、関数グラフを描く問題です。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像に示された指数に関する計算問題および方程式の問題を解き、関数グラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

1) $2^3 \times 2^5$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いると、$2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$

2) $3^7 \div 3^4$

指数の法則 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用いると、$3^7 \div 3^4 = 3^{7-4} = 3^3 = 27$

3) $(5^2)^3$

指数の法則 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ を用いると、$(5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 = 15625$

4) $(2 \times 3)^4$

指数の法則 $(ab)^n = a^n b^n$を用いると、$(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4 = 16 \times 81 = 1296$

5) $(\frac{2}{3})^3$

指数の法則 $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$を用いると、 $(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

6) $(-3)^2$

$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$

7) $-3^2$

$-3^2 = -(3 \times 3) = -9$

8) $4^0$

$a^0 = 1$ (ただし $a \ne 0$) より、$4^0 = 1$

9) $6^{-2}$

指数の法則 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ を用いると、$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$

10) $2^3 \times 2^{-1} \times 2^0$

$2^3 \times 2^{-1} \times 2^0 = 2^{3 + (-1) + 0} = 2^2 = 4$

11) $a^3 \times a^4 \div a^2$

$a^3 \times a^4 \div a^2 = a^{3+4-2} = a^5$

12) $(x^{-2} y^3)^2$

$(x^{-2} y^3)^2 = x^{-2 \times 2} y^{3 \times 2} = x^{-4} y^6 = \frac{y^6}{x^4}$

13) $\frac{(2^3 \times 3^2)^2}{2^4 \times 3^3}$

$\frac{(2^3 \times 3^2)^2}{2^4 \times 3^3} = \frac{2^{3 \times 2} \times 3^{2 \times 2}}{2^4 \times 3^3} = \frac{2^6 \times 3^4}{2^4 \times 3^3} = 2^{6-4} \times 3^{4-3} = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$

14) $3^{2x-1} \times 9^{x+1}$ を $3^A$ の形で表せ。

$3^{2x-1} \times 9^{x+1} = 3^{2x-1} \times (3^2)^{x+1} = 3^{2x-1} \times 3^{2(x+1)} = 3^{2x-1} \times 3^{2x+2} = 3^{(2x-1) + (2x+2)} = 3^{4x+1}$

求める形式は $3^A$ なので、$A = 4x+1$

15) $5^{2x-3} = 125$

$5^{2x-3} = 5^3$ より、$2x-3 = 3$

$2x = 6$

$x = 3$

16) $(\frac{1}{2})^{3x+1} = 8$

$(\frac{1}{2})^{3x+1} = 2^{-3x-1} = 2^3$ より、 $-3x-1 = 3$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

17) $4^x - 2^{x+1} - 8 = 0$

$(2^x)^2 - 2 \times 2^x - 8 = 0$

$2^x = t$ とおくと、$t^2 - 2t - 8 = 0$

$(t-4)(t+2) = 0$

$t=4, -2$

$2^x = 4$ より、$x=2$

$2^x = -2$ は解なし。

よって、$x=2$

18) $3^{x+1} = (\frac{1}{9})^{x-2}$

$3^{x+1} = (3^{-2})^{x-2} = 3^{-2x+4}$

$x+1 = -2x+4$

$3x = 3$

$x = 1$

19) $y = 3^x$

指数関数。xが増加するとyも増加する。

20) $y = (\frac{1}{2})^x$

指数関数。xが増加するとyは減少する。

3. 最終的な答え

1) 256

2) 27

3) 15625

4) 1296

5) 8/27

6) 9

7) -9

8) 1

9) 1/36

10) 4

11) $a^5$

12) $\frac{y^6}{x^4}$

13) 12

14) $3^{4x+1}$

15) $x=3$

16) $x = -\frac{4}{3}$

17) $x=2$

18) $x=1$

19) 指数関数グラフ（増加）

20) 指数関数グラフ（減少）