与えられた関数を平行移動したグラフを持つ関数を求める問題です。具体的には、 (1) $y = x^3 - x$ を $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -2 平行移動 (2) $y = \frac{2}{x}$ を $x$ 軸方向に -1, $y$ 軸方向に 3 平行移動 (3) $y = \sqrt{x}$ を $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に 1 平行移動 したグラフを持つ関数をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数を平行移動したグラフを持つ関数を求める問題です。具体的には、

(1) $y = x^3 - x$ を $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -2 平行移動

(2) $y = \frac{2}{x}$ を $x$ 軸方向に -1, $y$ 軸方向に 3 平行移動

(3) $y = \sqrt{x}$ を $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に 1 平行移動

したグラフを持つ関数をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

グラフを平行移動させるには、$x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ 平行移動する場合、$x$ を $x-a$ に、$y$ を $y-b$ に置き換えます。

(1) $y = x^3 - x$ を $x$ 軸方向に 1, $y$ 軸方向に -2 平行移動する場合、$x$ を $x-1$ に、$y$ を $y+2$ に置き換えます。

$y+2 = (x-1)^3 - (x-1)$

$y = (x-1)^3 - (x-1) - 2$

$y = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x - 1) - 2$

$y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x + 1 - 2$

$y = x^3 - 3x^2 + 2x - 2$

(2) $y = \frac{2}{x}$ を $x$ 軸方向に -1, $y$ 軸方向に 3 平行移動する場合、$x$ を $x+1$ に、$y$ を $y-3$ に置き換えます。

$y-3 = \frac{2}{x+1}$

$y = \frac{2}{x+1} + 3$

$y = \frac{2 + 3(x+1)}{x+1}$

$y = \frac{2 + 3x + 3}{x+1}$

$y = \frac{3x+5}{x+1}$

(3) $y = \sqrt{x}$ を $x$ 軸方向に 2, $y$ 軸方向に 1 平行移動する場合、$x$ を $x-2$ に、$y$ を $y-1$ に置き換えます。

$y-1 = \sqrt{x-2}$

$y = \sqrt{x-2} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^3 - 3x^2 + 2x - 2$

(2) $y = \frac{3x+5}{x+1}$

(3) $y = \sqrt{x-2} + 1$