実数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が $\alpha + \beta + \gamma = p$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$, $\alpha\beta\gamma = r$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $p=2$, $q=r+1$ のとき、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ のうち少なくとも1つは1であることを示す。 (2) $p=3$, $q=3$ のとき、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ はすべて1であることを示す。

1. 問題の内容

実数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が $\alpha + \beta + \gamma = p$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$, $\alpha\beta\gamma = r$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $p=2$, $q=r+1$ のとき、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ のうち少なくとも1つは1であることを示す。

(2) $p=3$, $q=3$ のとき、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ はすべて1であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $p=2$, $q=r+1$ のときを考える。$\alpha + \beta + \gamma = 2$ および $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = r+1$ および $\alpha\beta\gamma = r$ が成り立つ。

ここで、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ を解とする3次方程式を考える。

$x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0$

この方程式に条件を代入すると、

$x^3 - 2x^2 + (r+1)x - r = 0$

この式を整理すると、

$x^3 - 2x^2 + x + rx - r = 0$

$x(x^2 - 2x + 1) + r(x-1) = 0$

$x(x-1)^2 + r(x-1) = 0$

$(x-1)(x(x-1) + r) = 0$

$(x-1)(x^2 - x + r) = 0$

よって、$x=1$ が解の一つであることがわかる。したがって、$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ のうち少なくとも1つは1である。

(2) $p=3$, $q=3$ のときを考える。$\alpha + \beta + \gamma = 3$ および $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3$ が成り立つ。

$(\alpha - 1) + (\beta - 1) + (\gamma - 1) = \alpha + \beta + \gamma - 3 = 3 - 3 = 0$

$(\alpha - 1)(\beta - 1) + (\beta - 1)(\gamma - 1) + (\gamma - 1)(\alpha - 1) = \alpha\beta - \alpha - \beta + 1 + \beta\gamma - \beta - \gamma + 1 + \gamma\alpha - \gamma - \alpha + 1 = (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) - 2(\alpha + \beta + \gamma) + 3 = 3 - 2(3) + 3 = 0$

ここで、$\alpha' = \alpha - 1$, $\beta' = \beta - 1$, $\gamma' = \gamma - 1$ とおくと、$\alpha' + \beta' + \gamma' = 0$ および $\alpha'\beta' + \beta'\gamma' + \gamma'\alpha' = 0$ となる。

$(\alpha' + \beta' + \gamma')^2 = \alpha'^2 + \beta'^2 + \gamma'^2 + 2(\alpha'\beta' + \beta'\gamma' + \gamma'\alpha')$

$0^2 = \alpha'^2 + \beta'^2 + \gamma'^2 + 2(0)$

$\alpha'^2 + \beta'^2 + \gamma'^2 = 0$

$\alpha', \beta', \gamma'$ は実数なので、$\alpha' = \beta' = \gamma' = 0$ でなければならない。

したがって、$\alpha = \beta = \gamma = 1$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ のうち少なくとも1つは1である。

(2) $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ はすべて1である。