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実数 $\alpha, \beta, \gamma$ が $\alpha + \beta + \gamma = p$, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$, $\alpha\beta\gamma = r$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $p=2, q=r+1$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ のうち少なくとも1つは1であることを示す。 (2) $p=3, q=3$ のとき、$\alpha, \beta, \gamma$ はすべて1であることを示す。

代数学解と係数の関係多項式3次方程式対称式
2025/3/27

1. 問題の内容

実数 α,β,γ\alpha, \beta, \gamma が α+β+γ=p\alpha + \beta + \gamma = p, αβ+βγ+γα=q\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q, αβγ=r\alpha\beta\gamma = r を満たすとき、以下の問いに答える。
(1) p=2,q=r+1p=2, q=r+1 のとき、α,β,γ\alpha, \beta, \gamma のうち少なくとも1つは1であることを示す。
(2) p=3,q=3p=3, q=3 のとき、α,β,γ\alpha, \beta, \gamma はすべて1であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) p=2,q=r+1p=2, q=r+1 のとき
α+β+γ=2\alpha + \beta + \gamma = 2
αβ+βγ+γα=r+1\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = r+1
αβγ=r\alpha\beta\gamma = r
α,β,γ\alpha, \beta, \gamma を解とする xx の3次方程式を考えると、解と係数の関係から、
x3−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ=0x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0
x3−2x2+(r+1)x−r=0x^3 - 2x^2 + (r+1)x - r = 0
(x−1)(x2−x+r)=0(x-1)(x^2 - x + r) = 0
したがって、x=1x=1 はこの方程式の解である。つまり、α,β,γ\alpha, \beta, \gamma のうち少なくとも1つは1である。
(2) p=3,q=3p=3, q=3 のとき
α+β+γ=3\alpha + \beta + \gamma = 3
αβ+βγ+γα=3\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3
αβγ=r\alpha\beta\gamma = r
(α−1)+(β−1)+(γ−1)=α+β+γ−3=3−3=0(\alpha - 1) + (\beta - 1) + (\gamma - 1) = \alpha + \beta + \gamma - 3 = 3 - 3 = 0
(α−1)(β−1)+(β−1)(γ−1)+(γ−1)(α−1)=αβ−α−β+1+βγ−β−γ+1+γα−γ−α+1=(αβ+βγ+γα)−2(α+β+γ)+3=3−2(3)+3=0(\alpha - 1)(\beta - 1) + (\beta - 1)(\gamma - 1) + (\gamma - 1)(\alpha - 1) = \alpha\beta - \alpha - \beta + 1 + \beta\gamma - \beta - \gamma + 1 + \gamma\alpha - \gamma - \alpha + 1 = (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) - 2(\alpha + \beta + \gamma) + 3 = 3 - 2(3) + 3 = 0
(α−1)(β−1)(γ−1)=(α−1)(βγ−β−γ+1)=αβγ−αβ−αγ+α−βγ+β+γ−1=αβγ−(αβ+βγ+γα)+(α+β+γ)−1=r−3+3−1=r−1(\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) = (\alpha - 1)(\beta\gamma - \beta - \gamma + 1) = \alpha\beta\gamma - \alpha\beta - \alpha\gamma + \alpha - \beta\gamma + \beta + \gamma - 1 = \alpha\beta\gamma - (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) + (\alpha + \beta + \gamma) - 1 = r - 3 + 3 - 1 = r - 1
α−1,β−1,γ−1\alpha - 1, \beta - 1, \gamma - 1 を解とする xx の3次方程式を考えると、解と係数の関係から、
x3−((α−1)+(β−1)+(γ−1))x2+((α−1)(β−1)+(β−1)(γ−1)+(γ−1)(α−1))x−(α−1)(β−1)(γ−1)=0x^3 - ((\alpha - 1) + (\beta - 1) + (\gamma - 1))x^2 + ((\alpha - 1)(\beta - 1) + (\beta - 1)(\gamma - 1) + (\gamma - 1)(\alpha - 1))x - (\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) = 0
x3−0x2+0x−(r−1)=0x^3 - 0x^2 + 0x - (r - 1) = 0
x3=r−1x^3 = r - 1
(α−1)+(β−1)+(γ−1)=0(\alpha - 1) + (\beta - 1) + (\gamma - 1) = 0 なので、γ−1=−(α−1)−(β−1)\gamma - 1 = -(\alpha - 1) - (\beta - 1)
(α−1)(β−1)(γ−1)=(α−1)(β−1)(−(α−1)−(β−1))=−(α−1)(β−1)((α−1)+(β−1))=r−1(\alpha - 1)(\beta - 1)(\gamma - 1) = (\alpha - 1)(\beta - 1)(-(\alpha - 1) - (\beta - 1)) = -(\alpha - 1)(\beta - 1)((\alpha - 1) + (\beta - 1)) = r - 1
α+β+γ=3\alpha + \beta + \gamma = 3 かつ αβ+βγ+γα=3\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 3 なので、(α−1)2+(β−1)2+(γ−1)2=(α2+β2+γ2)−2(α+β+γ)+3=(α+β+γ)2−2(αβ+βγ+γα)−2(α+β+γ)+3=32−2(3)−2(3)+3=9−6−6+3=0(\alpha - 1)^2 + (\beta - 1)^2 + (\gamma - 1)^2 = (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2(\alpha + \beta + \gamma) + 3 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) - 2(\alpha + \beta + \gamma) + 3 = 3^2 - 2(3) - 2(3) + 3 = 9 - 6 - 6 + 3 = 0
したがって、α−1=0\alpha - 1 = 0, β−1=0\beta - 1 = 0, γ−1=0\gamma - 1 = 0 となり、α=β=γ=1\alpha = \beta = \gamma = 1 である。

3. 最終的な答え

(1) α,β,γ\alpha, \beta, \gamma のうち少なくとも1つは1である。
(2) α=β=γ=1\alpha = \beta = \gamma = 1 である。

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