半径$R$の円軌道上を角速度$\omega$で反時計回りに運動する粒子Pの位置ベクトル$\vec{r}$、速度ベクトル$\vec{v}$、加速度ベクトル$\vec{a}$を求める問題。 (a) 位置ベクトル$\vec{r}$を単位ベクトル$\vec{i}$, $\vec{j}$と$\omega$, $t$を用いて表す。 (b) 速度ベクトル$\vec{v}$を求める。 (c) 内積$\vec{r} \cdot \vec{v}$を求め、位置ベクトルと速度ベクトルの幾何学的な関係を説明する。 (d) 加速度ベクトル$\vec{a}$を求め、加速度ベクトルの向きを説明する。

## 問題4

1. **問題の内容**

半径$R$の円軌道上を角速度$\omega$で反時計回りに運動する粒子Pの位置ベクトル$\vec{r}$、速度ベクトル$\vec{v}$、加速度ベクトル$\vec{a}$を求める問題。

(a) 位置ベクトル$\vec{r}$を単位ベクトル$\vec{i}$, $\vec{j}$と$\omega$, $t$を用いて表す。

(b) 速度ベクトル$\vec{v}$を求める。

(c) 内積$\vec{r} \cdot \vec{v}$を求め、位置ベクトルと速度ベクトルの幾何学的な関係を説明する。

(d) 加速度ベクトル$\vec{a}$を求め、加速度ベクトルの向きを説明する。

2. **解き方の手順**

(a) 位置ベクトル$\vec{r}$は、以下のように表せる。

$\qquad \vec{r} = R\cos(\omega t) \vec{i} + R\sin(\omega t) \vec{j}$

(b) 速度ベクトル$\vec{v}$は、位置ベクトル$\vec{r}$の時間微分で求められる。

$\qquad \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} (R\cos(\omega t) \vec{i} + R\sin(\omega t) \vec{j})$

$\qquad \vec{v} = -R\omega\sin(\omega t) \vec{i} + R\omega\cos(\omega t) \vec{j}$

(c) 内積$\vec{r} \cdot \vec{v}$を計算する。

$\qquad \vec{r} \cdot \vec{v} = (R\cos(\omega t) \vec{i} + R\sin(\omega t) \vec{j}) \cdot (-R\omega\sin(\omega t) \vec{i} + R\omega\cos(\omega t) \vec{j})$

$\qquad \vec{r} \cdot \vec{v} = -R^2\omega\cos(\omega t)\sin(\omega t) + R^2\omega\sin(\omega t)\cos(\omega t) = 0$

内積が0であることから、位置ベクトル$\vec{r}$と速度ベクトル$\vec{v}$は直交していることがわかる。

(d) 加速度ベクトル$\vec{a}$は、速度ベクトル$\vec{v}$の時間微分で求められる。

$\qquad \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt} (-R\omega\sin(\omega t) \vec{i} + R\omega\cos(\omega t) \vec{j})$

$\qquad \vec{a} = -R\omega^2\cos(\omega t) \vec{i} - R\omega^2\sin(\omega t) \vec{j}$

$\qquad \vec{a} = -\omega^2 (R\cos(\omega t) \vec{i} + R\sin(\omega t) \vec{j})$

$\qquad \vec{a} = -\omega^2 \vec{r}$

加速度ベクトルは位置ベクトルと逆向きであり、原点Oを向いている。つまり、向心加速度である。

3. **最終的な答え**

(a) $\vec{r} = R\cos(\omega t) \vec{i} + R\sin(\omega t) \vec{j}$

(b) $\vec{v} = -R\omega\sin(\omega t) \vec{i} + R\omega\cos(\omega t) \vec{j}$

(c) $\vec{r} \cdot \vec{v} = 0$。位置ベクトルと速度ベクトルは直交する。

(d) $\vec{a} = -\omega^2 \vec{r}$。加速度ベクトルは原点Oを向く（向心加速度）。

## 問題5

1. **問題の内容**

放物線 $y = ax^2$ 上を運動する質点において、$y$軸方向の速度成分が一定であるとき、$x$軸方向の速度と加速度を求める問題。

2. **解き方の手順**

$y$軸方向の速度成分を$v_y$とすると、$v_y$は一定である。

$y = ax^2$を時間$t$で微分すると、

$\qquad \frac{dy}{dt} = 2ax \frac{dx}{dt}$

$\qquad v_y = 2ax v_x$

したがって、$x$軸方向の速度$v_x$は、

$\qquad v_x = \frac{v_y}{2ax}$

$x$軸方向の加速度$a_x$は、$x$軸方向の速度$v_x$の時間微分で求められる。

$\qquad a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{v_y}{2ax} \right) = \frac{v_y}{2a} \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{x} \right)$

$\qquad a_x = \frac{v_y}{2a} \left( -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dt} \right) = \frac{v_y}{2a} \left( -\frac{1}{x^2} v_x \right)$

$v_x = \frac{v_y}{2ax}$を代入すると、

$\qquad a_x = \frac{v_y}{2a} \left( -\frac{1}{x^2} \frac{v_y}{2ax} \right) = -\frac{v_y^2}{4a^2 x^3}$

3. **最終的な答え**

$x$軸方向の速度: $v_x = \frac{v_y}{2ax}$

$x$軸方向の加速度: $a_x = -\frac{v_y^2}{4a^2 x^3}$