なめらかな水平面または斜面上を運動する物体に、複数の力が加わっている状況における、加速度 $a$ と垂直抗力 $N$ を求める問題です。各問題ごとに力の大きさ、方向、角度が異なります。

1. 問題の内容

なめらかな水平面または斜面上を運動する物体に、複数の力が加わっている状況における、加速度 $a$ と垂直抗力 $N$ を求める問題です。各問題ごとに力の大きさ、方向、角度が異なります。

2. 解き方の手順

(1) 水平面上を運動する物体に、大きさ $F_1$ の力が水平方向に、大きさ $F_2$ の力が $45^\circ$ の角度で働いています。

* 水平方向の運動方程式：$ma = F_1 + F_2 \cos 45^\circ$

* 鉛直方向の力のつりあい：$N - mg + F_2 \sin 45^\circ = 0$

$a$ を求めます：

$ma = F_1 + F_2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a = \frac{F_1}{m} + \frac{\sqrt{2} F_2}{2m}$

$N$ を求めます：

$N = mg - F_2 \sin 45^\circ$

$N = mg - \frac{\sqrt{2}}{2} F_2$

(2) 水平面上を運動する物体に、大きさ $F_1$ の力が水平方向に、同じく大きさ $F_1$ の力が $30^\circ$ の角度で働いています。

* 水平方向の運動方程式：$ma = F_1 + F_1 \cos 30^\circ$

* 鉛直方向の力のつりあい：$N - mg + F_1 \sin 30^\circ = 0$

$a$ を求めます：

$ma = F_1 + F_1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a = \frac{F_1}{m} + \frac{\sqrt{3} F_1}{2m} = \frac{2 F_1 + \sqrt{3} F_1}{2m} = \frac{(2 + \sqrt{3})F_1}{2m}$

$N$ を求めます：

$N = mg - F_1 \sin 30^\circ$

$N = mg - \frac{1}{2} F_1$

(3) 傾斜 $30^\circ$ の斜面上を運動する物体に、斜面に沿って下向きに大きさ $F$ の力が働いています。

* 斜面に平行な方向の運動方程式：$ma = mg \sin 30^\circ + F$

* 斜面に垂直な方向の力のつりあい：$N - mg \cos 30^\circ = 0$

$a$ を求めます：

$ma = mg \frac{1}{2} + F$

$a = g \frac{1}{2} + \frac{F}{m} = \frac{g}{2} + \frac{F}{m}$

$N$ を求めます：

$N = mg \cos 30^\circ$

$N = mg \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{F_1}{m} + \frac{\sqrt{2} F_2}{2m}$ 、$N = mg - \frac{\sqrt{2}}{2} F_2$

(2) $a = \frac{(2 + \sqrt{3})F_1}{2m}$ 、$N = mg - \frac{1}{2} F_1$

(3) $a = \frac{g}{2} + \frac{F}{m}$ 、$N = \frac{\sqrt{3}}{2} mg$