質点が放物線 $y = ax^2$ に沿って運動する。 $y$軸に垂直な方向の速度成分が一定のとき、$x$軸方向の速度と加速度を求めよ。

1. 問題の内容

質点が放物線 $y = ax^2$ に沿って運動する。 $y$軸に垂直な方向の速度成分が一定のとき、$x$軸方向の速度と加速度を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、質点の位置を $(x, y)$ とする。放物線 $y = ax^2$ 上を運動するので、位置ベクトルは $\vec{r} = (x, ax^2)$ と表せる。

速度 $\vec{v}$ は位置ベクトル $\vec{r}$ の時間微分で求められる。

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (\frac{dx}{dt}, \frac{d(ax^2)}{dt}) = (\frac{dx}{dt}, 2ax\frac{dx}{dt})$

$x$軸方向の速度を $v_x = \frac{dx}{dt}$ 、$y$軸方向の速度を $v_y = 2ax\frac{dx}{dt}$ とする。

問題文より、$y$軸に垂直な方向、つまり $y$軸方向の速度成分 $v_y$ が一定である。

$v_y = 2ax\frac{dx}{dt} = C$ （$C$ は定数）

したがって、

$\frac{dx}{dt} = \frac{C}{2ax}$

これが $x$軸方向の速度 $v_x$ である。

$v_x = \frac{C}{2ax}$

次に、$x$軸方向の加速度 $a_x$ を求める。

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{C}{2ax})$

$a_x = \frac{C}{2a} \frac{d}{dt} (x^{-1}) = \frac{C}{2a} (-1)x^{-2}\frac{dx}{dt} = -\frac{C}{2a} \frac{1}{x^2} \frac{dx}{dt}$

$\frac{dx}{dt} = \frac{C}{2ax}$ を代入すると、

$a_x = -\frac{C}{2a} \frac{1}{x^2} \frac{C}{2ax} = -\frac{C^2}{4a^2x^3}$

3. 最終的な答え

$x$軸方向の速度：$\frac{C}{2ax}$

$x$軸方向の加速度：$-\frac{C^2}{4a^2x^3}$