4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a \geq b > c > d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるか。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a \geq b > c > d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ は全て異なる数字で、$a$ は少なくとも1以上でなければならないので、$0 \leq d < c < b < a \leq 9$ です。つまり、0から9までの10個の数字の中から4個の異なる数字を選び、大きい順に $a, b, c, d$ に割り当てれば良いです。

したがって、求める個数は、10個から4個を選ぶ組み合わせの数に等しく、

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) $a \geq b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ は $0 \leq d < c < b \leq a \leq 9$ を満たす整数です。

この問題は重複組み合わせを使うと解きやすいです。

$a \geq b > c > d \geq 0$ という条件から、

$a \geq b > c > d$ を満たす整数の組 $(a, b, c, d)$ の個数を考えます。

$x_1 = a - b$, $x_2 = b - c - 1$, $x_3 = c - d - 1$, $x_4 = d$ とおくと、

$x_1 \geq 0$, $x_2 \geq 0$, $x_3 \geq 0$, $x_4 \geq 0$ であり、

$a = x_1 + b$, $b = x_2 + c + 1$, $c = x_3 + d + 1$, $d = x_4$ なので、

$a = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + 2 + 1 + 1 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + 3$

$a \leq 9$ より $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + 3 \leq 9$

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \leq 6$

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 6$ となる非負整数の組 $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ の個数を求める。

これは、5種類のものを重複を許して6個選ぶ重複組み合わせの数に等しいので、

$_{5}H_6 = _{5+6-1}C_6 = _{10}C_6 = _{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$

ただし、$a$ が0となる場合は除かなければならない。

$a$ が0の時は、$b$, $c$, $d$ も0なので、

$a \geq b > c > d$ という条件より、$a$ は少なくとも1以上でなければならない。

上記の解法では、$a=0$となる場合も含むため、$a \geq b > c > d$を満たす4桁の自然数の個数を求めたいので、

$a=0$となる場合を考える必要はない。

$x_1 = a - b$, $x_2 = b - c - 1$, $x_3 = c - d - 1$, $x_4 = d$

$a = x_1 + x_2 + c + 1 = x_1 + x_2 + x_3 + d + 1 + 1 + 1 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + 3$

なので、$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = a - 3$

$a=1$とすると、$x_1+x_2+x_3+x_4=-2$となり、これはありえない。

別解として、$a+1 \ge b \ge c+1 > d+2 \ge 0$ より、$9 \ge a > b-1 > c-2 > d-3 \ge -3$

$A=a, B=b-1, C=c-2, D=d-3$ とおくと、$9 \ge A > B > C > D \ge -3$

$A, B, C, D$は整数であり、異なるので、9から-3までの13個の整数から4個選んで、大きい順に$A, B, C, D$とする。

$_{13}C_4 = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 13 \times 5 \times 11 = 715$

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 715個