質点が放物線 $y = ax^2$ に沿って運動している。y軸方向の速度成分（$v_y$）が一定であるとき、x軸方向の速度($v_x$)と加速度($a_x$)を求めよ。

1. 問題の内容

質点が放物線 $y = ax^2$ に沿って運動している。y軸方向の速度成分（$v_y$）が一定であるとき、x軸方向の速度($v_x$)と加速度($a_x$)を求めよ。

2. 解き方の手順

質点の位置ベクトルを $(x, y)$ とすると、$y = ax^2$の関係が常に成り立つ。y軸方向の速度成分が一定であるという条件を $v_y = c$ （cは定数）と置く。

まず、位置を時間で微分して速度を求める。

$y = ax^2$ を時間 $t$ で微分すると、

$\frac{dy}{dt} = 2ax \frac{dx}{dt}$

$v_y = 2axv_x$

$v_y = c$ であるから、

$c = 2axv_x$

これより、$v_x$ は

$v_x = \frac{c}{2ax}$

次に、$v_x$ を時間で微分して加速度を求める。

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt} (\frac{c}{2ax}) = \frac{c}{2a} \frac{d}{dt} (x^{-1})$

$a_x = \frac{c}{2a} (-x^{-2}) \frac{dx}{dt} = -\frac{c}{2a} \frac{1}{x^2} v_x$

$v_x = \frac{c}{2ax}$ を代入すると、

$a_x = -\frac{c}{2a} \frac{1}{x^2} \frac{c}{2ax} = -\frac{c^2}{4a^2x^3}$

3. 最終的な答え

x軸方向の速度： $v_x = \frac{c}{2ax}$

x軸方向の加速度： $a_x = -\frac{c^2}{4a^2x^3}$

ここで、$c$ はy軸方向の速度成分である。