質点が放物線 $y = ax^2$ 上を運動するとき、y軸方向の速度成分 $v_y$ が一定である。このとき、x軸方向の速度 $v_x$ と加速度 $a_x$ を求める。

1. 問題の内容

質点が放物線 $y = ax^2$ 上を運動するとき、y軸方向の速度成分 $v_y$ が一定である。このとき、x軸方向の速度 $v_x$ と加速度 $a_x$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) y軸方向の速度が一定であることから、時間 $t$ に対して $y$ を $y = v_y t$ と表せる。

(2) 放物線の式 $y = ax^2$ に(1)を代入する。

$v_y t = ax^2$

(3) (2)の式から、$x^2$ について解く。

$x^2 = \frac{v_y}{a}t$

(4) $x$ について解く。

$x = \pm \sqrt{\frac{v_y}{a}t}$

(5) x軸方向の速度 $v_x$ は $x$ を時間 $t$ で微分することで得られる。

$v_x = \frac{dx}{dt} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{v_y}{a}} t^{-\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{v_y}{at}}$

(6) x軸方向の加速度 $a_x$ は $v_x$ を時間 $t$ で微分することで得られる。

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \mp \frac{1}{4} \sqrt{\frac{v_y}{a}} t^{-\frac{3}{2}} = \mp \frac{1}{4} \sqrt{\frac{v_y}{at^3}}$

3. 最終的な答え

x軸方向の速度 $v_x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{v_y}{at}}$

x軸方向の加速度 $a_x = \mp \frac{1}{4} \sqrt{\frac{v_y}{at^3}}$