なめらかな水平面上を運動する2つの物体A, Bが正面衝突する。Aの質量は20kg, 初速度は右向きに2.0m/s, Bの質量は10kg, 初速度は左向きに1.0m/s。反発係数は0.50。衝突後のAとBの速度を求めよ。

1. 問題の内容

なめらかな水平面上を運動する2つの物体A, Bが正面衝突する。Aの質量は20kg, 初速度は右向きに2.0m/s, Bの質量は10kg, 初速度は左向きに1.0m/s。反発係数は0.50。衝突後のAとBの速度を求めよ。

2. 解き方の手順

右向きを正とする。

運動量保存則と反発係数の式を立てる。

運動量保存則：

$m_A v_A + m_B v_B = m_A v_A' + m_B v_B'$

ここで、$m_A = 20$ kg, $v_A = 2.0$ m/s, $m_B = 10$ kg, $v_B = -1.0$ m/s, $v_A', v_B'$ は衝突後のA, Bの速度である。

代入すると、

$20 \times 2.0 + 10 \times (-1.0) = 20 v_A' + 10 v_B'$

$40 - 10 = 20 v_A' + 10 v_B'$

$30 = 20 v_A' + 10 v_B'$

$3 = 2 v_A' + v_B'$ ...(1)

反発係数の式：

$e = - \frac{v_B' - v_A'}{v_B - v_A}$

ここで、$e = 0.50$ である。

$0.50 = - \frac{v_B' - v_A'}{-1.0 - 2.0}$

$0.50 = \frac{v_B' - v_A'}{3.0}$

$1.5 = v_B' - v_A'$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)より、$v_B' = 3 - 2 v_A'$

これを(2)に代入すると、

$1.5 = (3 - 2 v_A') - v_A'$

$1.5 = 3 - 3 v_A'$

$3 v_A' = 3 - 1.5 = 1.5$

$v_A' = 0.5$ m/s

$v_B' = 1.5 + v_A' = 1.5 + 0.5 = 2.0$ m/s

3. 最終的な答え

物体Aの向き：右

物体Aの速度：0.50 m/s

物体Bの向き：右

物体Bの速度：2.0 m/s