問題1は、ベクトル場 $\mathbf{A} = (x^2, 2, z)$ について、原点を中心とする半径 $a$ の球面 $S$ 上での面積分 $\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求める問題です。 問題2は、$\iint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \iiint_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ が成り立つとき、選択肢の中から条件を満たすベクトル場 $\mathbf{A}$ を選ぶ問題です。ここで、$S$ は原点を中心とする半径 $a$ の球面、$V$ はその球面で囲まれた領域、$\mathbf{r} = (x, y, z)$, $r=|\mathbf{r}|$ です。

1. 問題の内容

問題1は、ベクトル場 $\mathbf{A} = (x^2, 2, z)$ について、原点を中心とする半径 $a$ の球面 $S$ 上での面積分 $\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求める問題です。

問題2は、$\iint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \iiint_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ が成り立つとき、選択肢の中から条件を満たすベクトル場 $\mathbf{A}$ を選ぶ問題です。ここで、$S$ は原点を中心とする半径 $a$ の球面、$V$ はその球面で囲まれた領域、$\mathbf{r} = (x, y, z)$, $r=|\mathbf{r}|$ です。

2. 解き方の手順

問題1:

まず、$d\mathbf{S} = \mathbf{n} dS$ であり、ここで $\mathbf{n}$ は球面 $S$ の外向き単位法線ベクトルです。球面のパラメータ表示を $\mathbf{r} = (a\sin\theta\cos\phi, a\sin\theta\sin\phi, a\cos\theta)$ とすると、$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{a}$ です。したがって、$d\mathbf{S} = \frac{\mathbf{r}}{a} dS$ となります。球面上の積分なので、$dS = a^2 \sin\theta d\theta d\phi$ です。

面積分は以下のようになります。

$\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (x^2, 2, z) \cdot \frac{(x, y, z)}{a} dS = \iint_S \frac{x^3 + 2y + z^2}{a} dS$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \frac{(a\sin\theta\cos\phi)^3 + 2(a\sin\theta\sin\phi) + (a\cos\theta)^2}{a} a^2 \sin\theta d\theta d\phi$

$= a^2 \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} (a^2 \sin^4\theta \cos^3\phi + 2\sin\theta\sin\phi + \cos^2\theta) \sin\theta d\theta d\phi$

$= a^2 \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} (a^2 \sin^5\theta \cos^3\phi + 2\sin^2\theta\sin\phi + \cos^2\theta\sin\theta) d\theta d\phi$

$\int_0^{2\pi} \cos^3\phi d\phi = 0$, $\int_0^{2\pi} \sin\phi d\phi = 0$ より、第1項と第2項の積分は0になります。

$\iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = a^2 \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \cos^2\theta\sin\theta d\theta d\phi = a^2 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} \cos^2\theta\sin\theta d\theta$

$= a^2 (2\pi) \left[ -\frac{\cos^3\theta}{3} \right]_0^{\pi} = 2\pi a^2 \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{1^3}{3} \right) = 2\pi a^2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) = 2\pi a^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi a^2}{3}$

問題2:

与えられた積分 $\iint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \iiint_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ を満たす $\mathbf{A}$ を選びます。発散定理を適用すると、$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} dV$ となります。

左辺を考えると、$\iint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{A} \cdot (r^2 d\mathbf{S}) = \iint_S \mathbf{A} \cdot (r^2 \mathbf{n} dS)$ となります。ここで、$r = a$ なので $r^2 = a^2$ となります。

$\iint_S \mathbf{A} \cdot (a^2 \mathbf{n} dS) = a^2 \iint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$

一方、右辺は $2 \iiint_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ です。

発散定理より、$\iint_S a^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = a^2 \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{A} dV$

よって、$a^2 \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{A} dV = 2 \iiint_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ となります。

したがって、$a^2 \nabla \cdot \mathbf{A} = 2 \mathbf{A} \cdot \mathbf{r}$ が成り立つ必要があります。

(1) $\mathbf{A} = (-2, 1, 4)$, $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$, $\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = -2x + y + 4z$. よって $0 = 2(-2x+y+4z)$. これは成り立ちません。

(2) $\mathbf{A} = (x, -y, y)$, $\nabla \cdot \mathbf{A} = 1-1+0=0$, $\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = x^2 - y^2 + yz$. よって $0 = 2(x^2 - y^2 + yz)$. これは成り立ちません。

(3) $\mathbf{A} = \mathbf{r} = (x, y, z)$, $\nabla \cdot \mathbf{A} = 1+1+1=3$, $\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = x^2+y^2+z^2 = r^2$. よって $3a^2 = 2r^2 = 2a^2$. これは成り立ちません。

(4) $\mathbf{A} = \frac{\mathbf{r}}{r^2}$, $\mathbf{A} = \frac{(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2}$. $\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = \frac{r^2}{r^2} = 1$

$\nabla \cdot \mathbf{A} = \nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^2} = 0$ よって $0 = 2$. 成り立ちません。

(5) $\mathbf{A} = \frac{\mathbf{r}}{r^3}$, $\mathbf{A} = \frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$. $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$. $\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = \frac{r^2}{r^3} = \frac{1}{r}$. よって $0 = \frac{2}{r}$

発散定理を用いて考えると、$\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ で $\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = 0$ になる場合が考えられます。

3. 最終的な答え

問題1: $\frac{4\pi a^2}{3}$

問題2: (3) $\mathbf{r}$

$\mathbf{A} = c \mathbf{r}$ と仮定する ($c$は定数)。$\nabla \cdot \mathbf{A} = 3c$ となる。また、$\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = c |\mathbf{r}|^2 = c r^2$ となる。

積分は、$\iint_S r^2 c \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S} = 2 \iiint_V c |\mathbf{r}|^2 dV$

$c \iint_S r^2 \mathbf{r} \cdot d\mathbf{S} = 2c \iiint_V r^2 dV$

$c \iint_S r^3 dS = 2c \iiint_V r^2 dV$

球座標に変換すると、$\int_0^\pi \int_0^{2\pi} a^3 a^2 \sin(\theta) d\theta d\phi = 4 \pi a^5$

$2 \int_0^a \int_0^\pi \int_0^{2\pi} r^2 r^2 \sin(\theta) dr d\theta d\phi = 2 4\pi \int_0^a r^4 dr = 8\pi (\frac{1}{5}) a^5 = \frac{8}{5} \pi a^5$

したがって、これは条件を満たさない。

答えは(3)

$\mathbf{A}=\mathbf{r}$の場合、$\iint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}=\iint_S r^2\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} dS=\iint_S r^3 dS=a^3 \iint_S dS=a^3(4\pi a^2)=4\pi a^5$

$2\iiint_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV=2\iiint_V r^2 dV = 2\int_0^a r^2 4 \pi r^2 dr = 8\pi \int_0^a r^4 dr = 8 \pi (\frac{a^5}{5})= \frac{8 \pi a^5}{5}$

与えられた条件は成立しない

正解がない