一直線上で右向きに $2.0 \ m/s$ の速さで運動していた物体Bに、同じく右向きに $8.0 \ m/s$ の速さで運動してきた物体Aが衝突します。A, B の質量はどちらも $3.0 \ kg$ であり、完全弾性衝突であるとき、衝突後のAとBの速度を求めます。

1. 問題の内容

一直線上で右向きに $2.0 \ m/s$ の速さで運動していた物体Bに、同じく右向きに $8.0 \ m/s$ の速さで運動してきた物体Aが衝突します。A, B の質量はどちらも $3.0 \ kg$ であり、完全弾性衝突であるとき、衝突後のAとBの速度を求めます。

2. 解き方の手順

完全弾性衝突なので、運動量保存則と力学的エネルギー保存則が成り立ちます。

右向きを正の方向とします。

運動量保存則より、

$m_A v_{A1} + m_B v_{B1} = m_A v_{A2} + m_B v_{B2}$

ここで、$m_A = m_B = m$ なので、

$v_{A1} + v_{B1} = v_{A2} + v_{B2}$

$8.0 + 2.0 = v_{A2} + v_{B2}$

$10.0 = v_{A2} + v_{B2}$ ... (1)

力学的エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2} m_A v_{A1}^2 + \frac{1}{2} m_B v_{B1}^2 = \frac{1}{2} m_A v_{A2}^2 + \frac{1}{2} m_B v_{B2}^2$

$m_A = m_B = m$ なので、

$v_{A1}^2 + v_{B1}^2 = v_{A2}^2 + v_{B2}^2$

$8.0^2 + 2.0^2 = v_{A2}^2 + v_{B2}^2$

$64.0 + 4.0 = v_{A2}^2 + v_{B2}^2$

$68.0 = v_{A2}^2 + v_{B2}^2$ ... (2)

(1)より、$v_{B2} = 10.0 - v_{A2}$。これを(2)に代入すると、

$68.0 = v_{A2}^2 + (10.0 - v_{A2})^2$

$68.0 = v_{A2}^2 + 100.0 - 20.0v_{A2} + v_{A2}^2$

$2v_{A2}^2 - 20.0v_{A2} + 32.0 = 0$

$v_{A2}^2 - 10.0v_{A2} + 16.0 = 0$

$(v_{A2} - 2.0)(v_{A2} - 8.0) = 0$

よって、$v_{A2} = 2.0 \ m/s$ または $v_{A2} = 8.0 \ m/s$

$v_{A2} = 8.0 \ m/s$ のとき、$v_{B2} = 10.0 - 8.0 = 2.0 \ m/s$となり、衝突前と同じ状態になるため不適。

$v_{A2} = 2.0 \ m/s$ のとき、$v_{B2} = 10.0 - 2.0 = 8.0 \ m/s$。

したがって、物体Aの速度は右向きに $2.0 \ m/s$、物体Bの速度は右向きに $8.0 \ m/s$。

3. 最終的な答え

物体A：右向き $2.0 \ m/s$

物体B：右向き $8.0 \ m/s$