$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ であり、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ であり、$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ を利用します。

まず、この式を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{4})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{16}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であるから、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16} - 1 = -\frac{15}{16}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{15}{32}$

次に、$\sin \theta - \cos \theta$ の値を求めます。$(\sin \theta - \cos \theta)^2$ を計算します。

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$

$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2(-\frac{15}{32}) = 1 + \frac{15}{16} = \frac{31}{16}$

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \pm \sqrt{\frac{31}{16}} = \pm \frac{\sqrt{31}}{4}$

ここで、$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta \geq 0$ です。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ であることから、

$\sin \theta - \cos \theta = \pm \frac{\sqrt{31}}{4}$ のそれぞれの場合について考えます。

(i) $\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{31}}{4}$ の場合

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ と連立して解くと、

$2 \sin \theta = \frac{1+\sqrt{31}}{4}$, $\sin \theta = \frac{1+\sqrt{31}}{8}$

$2 \cos \theta = \frac{1-\sqrt{31}}{4}$, $\cos \theta = \frac{1-\sqrt{31}}{8}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1+\sqrt{31}}{1-\sqrt{31}} = \frac{(1+\sqrt{31})(1+\sqrt{31})}{(1-\sqrt{31})(1+\sqrt{31})} = \frac{1+2\sqrt{31}+31}{1-31} = \frac{32+2\sqrt{31}}{-30} = -\frac{16+\sqrt{31}}{15}$

(ii) $\sin \theta - \cos \theta = -\frac{\sqrt{31}}{4}$ の場合

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{4}$ と連立して解くと、

$2 \sin \theta = \frac{1-\sqrt{31}}{4}$, $\sin \theta = \frac{1-\sqrt{31}}{8}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき $\sin \theta \geq 0$ であるから、この場合は不適。

したがって、$\sin \theta - \cos \theta = \frac{\sqrt{31}}{4}$ の場合のみ考えればよい。

3. 最終的な答え

$\tan \theta = -\frac{16+\sqrt{31}}{15}$