水平面と角 $\beta$ をなす斜面の最下点から、斜面と角 $\alpha$ をなす方向に初速 $v_0$ で物体を投げ上げたとき、斜面上の最大到達距離を得るための角 $\alpha$ を求めよ。

1. 問題の内容

水平面と角 $\beta$ をなす斜面の最下点から、斜面と角 $\alpha$ をなす方向に初速 $v_0$ で物体を投げ上げたとき、斜面上の最大到達距離を得るための角 $\alpha$ を求めよ。

2. 解き方の手順

斜面に沿った座標系を考え、斜面に平行な方向を $x$ 軸、斜面に垂直な方向を $y$ 軸とします。

重力加速度 $g$ をこの座標系で分解すると、$x$ 軸方向の加速度は $-g\sin\beta$、$y$ 軸方向の加速度は $-g\cos\beta$ となります。

物体の初速度 $v_0$ の $x$ 成分は $v_0\cos\alpha$、$y$ 成分は $v_0\sin\alpha$ です。

物体が斜面に到達するまでの時間を $t$ とすると、

$x$ 方向の変位 $x$ は

$x = v_0\cos\alpha \cdot t - \frac{1}{2}g\sin\beta \cdot t^2$

$y$ 方向の変位 $y$ は

$y = v_0\sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}g\cos\beta \cdot t^2$

となります。

物体が斜面に到達する条件は $y = 0$ なので、

$0 = v_0\sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2}g\cos\beta \cdot t^2$

$t(v_0\sin\alpha - \frac{1}{2}g\cos\beta \cdot t) = 0$

$t = 0$ または $t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g\cos\beta}$

$t = 0$ は初期状態なので、$t = \frac{2v_0\sin\alpha}{g\cos\beta}$ の方が求める時間です。

この時間を $x$ の式に代入すると、到達距離 $L$ は

$L = v_0\cos\alpha \cdot \frac{2v_0\sin\alpha}{g\cos\beta} - \frac{1}{2}g\sin\beta \cdot (\frac{2v_0\sin\alpha}{g\cos\beta})^2$

$L = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g\cos\beta} - \frac{1}{2}g\sin\beta \cdot \frac{4v_0^2\sin^2\alpha}{g^2\cos^2\beta}$

$L = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g\cos\beta} - \frac{2v_0^2\sin\beta\sin^2\alpha}{g\cos^2\beta}$

$L = \frac{2v_0^2}{g\cos^2\beta} (\sin\alpha\cos\alpha\cos\beta - \sin\beta\sin^2\alpha)$

$L = \frac{v_0^2}{g\cos^2\beta} (\sin(2\alpha)\cos\beta - 2\sin\beta\sin^2\alpha)$

$L$ を最大にする $\alpha$ を求めるために、$L$ を $\alpha$ で微分して $0$ とおきます。

$\frac{dL}{d\alpha} = \frac{v_0^2}{g\cos^2\beta} (2\cos(2\alpha)\cos\beta - 4\sin\beta\sin\alpha\cos\alpha) = 0$

$2\cos(2\alpha)\cos\beta - 2\sin\beta\sin(2\alpha) = 0$

$\cos(2\alpha)\cos\beta = \sin\beta\sin(2\alpha)$

$\tan(2\alpha) = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \cot\beta = \tan(\frac{\pi}{2} - \beta)$

$2\alpha = \frac{\pi}{2} - \beta$

$\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{\beta}{2}$

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{\beta}{2}$

あるいは

$\alpha = 45^\circ - \frac{\beta}{2}$