一辺の長さが $a$ の立方体が周期的に並んだ体心立方格子構造において、ある原子 $A_0$ に着目したとき、空間内のすべての点のうち、他のどの原子よりも $A_0$ に近い点の集合がつくる領域 $D_0$ の体積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが $a$ の立方体が周期的に並んだ体心立方格子構造において、ある原子 $A_0$ に着目したとき、空間内のすべての点のうち、他のどの原子よりも $A_0$ に近い点の集合がつくる領域 $D_0$ の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

体心立方格子構造では、単位格子の頂点と中心に原子が配置されています。

$A_0$ に最も近い原子は、隣接する単位格子の中心にある原子です。

$D_0$ は、ある原子 $A_0$ に最も近い点の集合なので、これは $A_0$ を中心としたボロノイ多面体（またはウィグナーサイツ胞）になります。

体心立方格子の場合、このボロノイ多面体は菱形十二面体になります。

しかし、体心立方格子に対して、各原子が占有する領域は、元の単位格子を分割することで求めることができます。

体心立方格子は、単位格子の8つの頂点にそれぞれ1/8個の原子、中心に1個の原子が含まれます。

したがって、単位格子に含まれる原子の数は $8 \times (1/8) + 1 = 2$ 個です。

問題文ではある原子に着目したときに、どの原子よりも近い点の集合の体積を問われているので、これはある原子の占有体積に相当します。

体心立方格子において、単位格子あたり2つの原子が含まれるので、1つの原子が占める体積は単位格子の体積の半分になります。

単位格子の体積は $a^3$ なので、1つの原子が占める体積は $a^3 / 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a^3 / 2$