原点を中心として、点 $A(x, y, z)$ を4倍に拡大した後、x軸周りに30度回転させると、点 $A'(4, 2, 1)$ に移動した。この変換を表す変換行列 $E$ を求め、その逆行列を求め、さらに元の点 $A(x, y, z)$ を求める。

1. 問題の内容

原点を中心として、点 $A(x, y, z)$ を4倍に拡大した後、x軸周りに30度回転させると、点 $A'(4, 2, 1)$ に移動した。この変換を表す変換行列 $E$ を求め、その逆行列を求め、さらに元の点 $A(x, y, z)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 変換行列 $E$ を求める。

まず、4倍の拡大変換を表す行列 $S$ は以下の通り。

$$

S = \begin{pmatrix}

4 & 0 & 0 \\

0 & 4 & 0 \\

0 & 0 & 4

\end{pmatrix}

$$

次に、x軸周りの30度回転変換を表す行列 $R$ は以下の通り。

$$

R = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos{30^\circ} & -\sin{30^\circ} \\

0 & \sin{30^\circ} & \cos{30^\circ}

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}

\end{pmatrix}

$$

したがって、変換行列 $E$ は $E = RS$ で与えられる。

$$

E = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

4 & 0 & 0 \\

0 & 4 & 0 \\

0 & 0 & 4

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

4 & 0 & 0 \\

0 & 2\sqrt{3} & -2 \\

0 & 2 & 2\sqrt{3}

\end{pmatrix}

$$

(2) 変換行列 $E$ の逆行列 $E^{-1}$ を求める。

$E^{-1} = (RS)^{-1} = S^{-1}R^{-1}$ である。

$$

S^{-1} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{4} & 0 & 0 \\

0 & \frac{1}{4} & 0 \\

0 & 0 & \frac{1}{4}

\end{pmatrix}

$$

$R^{-1}$ は、x軸周りの-30度回転変換であるから

$$

R^{-1} = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos{(-30^\circ)} & -\sin{(-30^\circ)} \\

0 & \sin{(-30^\circ)} & \cos{(-30^\circ)}

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \cos{30^\circ} & \sin{30^\circ} \\

0 & -\sin{30^\circ} & \cos{30^\circ}

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\

0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}

\end{pmatrix}

$$

したがって、

$$

E^{-1} = S^{-1}R^{-1} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{4} & 0 & 0 \\

0 & \frac{1}{4} & 0 \\

0 & 0 & \frac{1}{4}

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\

0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{4} & 0 & 0 \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\

0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8}

\end{pmatrix}

$$

(3) 点 $A(x, y, z)$ を求める。

$A' = EA$ であるから、$A = E^{-1}A'$ となる。

$$

\begin{pmatrix}

x \\

y \\

z

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{4} & 0 & 0 \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\

0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8}

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

4 \\

2 \\

1

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

1 \\

\frac{2\sqrt{3}+1}{8} \\

\frac{-2+ \sqrt{3}}{8}

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

(1) 変換行列 $E$:

$$

E = \begin{pmatrix}

4 & 0 & 0 \\

0 & 2\sqrt{3} & -2 \\

0 & 2 & 2\sqrt{3}

\end{pmatrix}

$$

(2) 変換行列 $E$ の逆行列 $E^{-1}$:

$$

E^{-1} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{4} & 0 & 0 \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\

0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8}

\end{pmatrix}

$$

(3) 点 $A(x, y, z)$:

$$

A = \left(1, \frac{2\sqrt{3}+1}{8}, \frac{-2+\sqrt{3}}{8}\right)

$$