高さ10mから質量100gのボールを自由落下させたところ、床に衝突後5.0mまではね上がった。重力加速度は9.8 m/s²とし、空気抵抗は無視できるとする。$\sqrt{2} = 1.4$とする。 (1) 衝突直前の速さとその時の運動エネルギーを求める。 (2) はね返り係数を求める。 (3) 床に衝突したことによって失われた力学的エネルギーを求める。

1. 問題の内容

高さ10mから質量100gのボールを自由落下させたところ、床に衝突後5.0mまではね上がった。重力加速度は9.8 m/s²とし、空気抵抗は無視できるとする。$\sqrt{2} = 1.4$とする。

(1) 衝突直前の速さとその時の運動エネルギーを求める。

(2) はね返り係数を求める。

(3) 床に衝突したことによって失われた力学的エネルギーを求める。

2. 解き方の手順

(1) 衝突直前の速さ

自由落下における物体の速さは、$v = \sqrt{2gh}$で求められる。ここで、$g$は重力加速度、$h$は落下距離である。

$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14$ m/s

運動エネルギーは、$K = \frac{1}{2}mv^2$で求められる。ここで、$m$は質量、$v$は速さである。質量をkgに変換する必要がある。$100g = 0.1kg$

$K = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 14^2 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 196 = 9.8$ J

(2) はね返り係数

はね返り係数（反発係数）は、$e = \frac{v'}{v}$で求められる。ここで、$v$は衝突直前の速さ、$v'$は衝突直後の速さである。

衝突直後の速さを求めるために、高さ5mまで跳ね上がった時の速さを求める。

$v' = \sqrt{2gh'} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} = 7 \times 1.4 = 9.8$ m/s

$e = \frac{9.8}{14} = \frac{7 \times 1.4}{14} = \frac{1.4}{2} = 0.7$

(3) 失われた力学的エネルギー

衝突前の力学的エネルギーは、位置エネルギー$U = mgh$で求められる。

$U = 0.1 \times 9.8 \times 10 = 9.8$ J

衝突後の力学的エネルギーは、$U' = mgh'$で求められる。

$U' = 0.1 \times 9.8 \times 5 = 4.9$ J

失われた力学的エネルギーは、$U - U' = 9.8 - 4.9 = 4.9$ J

3. 最終的な答え

(1) 衝突直前の速さは14 m/s、運動エネルギーは9.8 J

(2) はね返り係数は0.7

(3) 失われた力学的エネルギーは4.9 J