与えられた式 $ab^2 - a + b^2 - b$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab^2 - a + b^2 - b$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、最初の二つの項と、後の二つの項に分けて考えます。

最初の二つの項 $ab^2 - a$ から $a$ をくくり出すと、

$a(b^2 - 1)$

となります。

後の二つの項 $b^2 - b$ から $b$ をくくり出すと、

$b(b - 1)$

となります。

したがって、

$ab^2 - a + b^2 - b = a(b^2 - 1) + b^2 - b$

となります。

ここで、$b^2 - 1 = (b - 1)(b + 1)$ であることを利用すると、

$a(b^2 - 1) + b^2 - b = a(b - 1)(b + 1) + b(b - 1)$

となります。

$(b - 1)$ が共通因数なので、これでくくり出すと、

$a(b - 1)(b + 1) + b(b - 1) = (b - 1)[a(b + 1) + b]$

となります。

さらに、括弧の中を展開すると、

$(b - 1)[a(b + 1) + b] = (b - 1)(ab + a + b)$

となります。

3. 最終的な答え

$(b - 1)(ab + a + b)$