与えられた5つの2次関数について、それぞれのグラフの軸と頂点を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた5つの2次関数について、それぞれのグラフの軸と頂点を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数の一般形は $y = ax^2 + bx + c$ であり、この形から平方完成を行うことで頂点の座標を求められます。平方完成された式は $y = a(x - p)^2 + q$ となり、このとき頂点の座標は $(p, q)$、軸は $x = p$ となります。与えられた関数について、それぞれ平方完成を行い、頂点と軸を求めます。

(1) $y = 2x^2 + 5x + 2$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x) + 2$

$y = 2(x^2 + \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 - (\frac{5}{4})^2) + 2$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - 2(\frac{25}{16}) + 2$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{8} + \frac{16}{8}$

$y = 2(x + \frac{5}{4})^2 - \frac{9}{8}$

頂点: $(-\frac{5}{4}, -\frac{9}{8})$

軸: $x = -\frac{5}{4}$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4 - 4)$

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - \frac{1}{2}(4)$

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2$

頂点: $(-2, -2)$

軸: $x = -2$

(3) $y = -\frac{2}{3}x^2 - 4x$

$y = -\frac{2}{3}(x^2 + 6x)$

$y = -\frac{2}{3}(x^2 + 6x + 9 - 9)$

$y = -\frac{2}{3}(x + 3)^2 + (-\frac{2}{3})(-9)$

$y = -\frac{2}{3}(x + 3)^2 + 6$

頂点: $(-3, 6)$

軸: $x = -3$

(4) $y = (x+2)(x-1)$

$y = x^2 + x - 2$

$y = x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 2$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{8}{4}$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$

軸: $x = -\frac{1}{2}$

(5) $y = (2x+1)(x-2)$

$y = 2x^2 - 4x + x - 2$

$y = 2x^2 - 3x - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2(\frac{9}{16}) - 2$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} - \frac{16}{8}$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8}$

頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

軸: $x = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(-\frac{5}{4}, -\frac{9}{8})$, 軸: $x = -\frac{5}{4}$

(2) 頂点: $(-2, -2)$, 軸: $x = -2$

(3) 頂点: $(-3, 6)$, 軸: $x = -3$

(4) 頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$, 軸: $x = -\frac{1}{2}$

(5) 頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$, 軸: $x = \frac{3}{4}$