数列 $a_n$ が $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}$ で定義されている。 (1) 不等式 $\int_1^{2n+1} \frac{1}{x} dx < 2a_n$ が成り立つことを示す。 (2) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\log n}$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が $a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}$ で定義されている。

(1) 不等式 $\int_1^{2n+1} \frac{1}{x} dx < 2a_n$ が成り立つことを示す。

(2) 極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\log n}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分を計算する。

$\int_1^{2n+1} \frac{1}{x} dx = [\log x]_1^{2n+1} = \log(2n+1) - \log(1) = \log(2n+1)$

次に、$a_n$ を評価する。

$a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1}$

ここで、各項を積分で評価することを考える。

$f(x) = \frac{1}{2x-1}$ を考えると、$x > 0$ で減少関数。

$\int_k^{k+1} \frac{1}{2x-1} dx < \frac{1}{2k-1}$

したがって、

$\sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{2x-1} dx < \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1} = a_n$

$\int_1^{n+1} \frac{1}{2x-1} dx < a_n$

$\frac{1}{2} [\log(2x-1)]_1^{n+1} < a_n$

$\frac{1}{2} (\log(2n+1) - \log(1)) < a_n$

$\frac{1}{2} \log(2n+1) < a_n$

$\log(2n+1) < 2a_n$

よって、$\int_1^{2n+1} \frac{1}{x} dx < 2a_n$ が成り立つ。

(2)

$a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}$

$\frac{a_n}{\log n} = \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1}}{\log n}$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \log n + \gamma + o(1)$ ($\gamma$ はオイラー・マスケローニ定数)

$\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$

$\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} = \log (2n) + \gamma + o(1) = \log 2 + \log n + \gamma + o(1)$

$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = \frac{1}{2} (\log n + \gamma + o(1))$

したがって、

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{2k-1} = \log 2 + \log n + \gamma - \frac{1}{2} \log n - \frac{1}{2} \gamma + o(1) = \frac{1}{2} \log n + \log 2 + \frac{1}{2} \gamma + o(1)$

$\frac{a_n}{\log n} = \frac{\frac{1}{2} \log n + \log 2 + \frac{1}{2} \gamma + o(1)}{\log n} = \frac{1}{2} + \frac{\log 2 + \frac{1}{2} \gamma}{\log n} + \frac{o(1)}{\log n}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{\log 2 + \frac{1}{2} \gamma}{\log n} \to 0$, $\frac{o(1)}{\log n} \to 0$

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\log n} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_1^{2n+1} \frac{1}{x} dx < 2a_n$ が成り立つ。

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\log n} = \frac{1}{2}$