実数 $a$ を定数とする方程式 $\frac{a}{e^x} - 2x = 0$ の異なる実数解の個数を調べる問題です。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ であることは既知としてよいとのことです。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする方程式 $\frac{a}{e^x} - 2x = 0$ の異なる実数解の個数を調べる問題です。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ であることは既知としてよいとのことです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$\frac{a}{e^x} - 2x = 0$

$\frac{a}{e^x} = 2x$

$a = 2xe^x$

ここで、$f(x) = 2xe^x$ とおきます。

この関数のグラフと $y=a$ のグラフの交点の個数が、方程式の実数解の個数に一致します。

$f(x)$ の増減を調べます。

$f'(x) = 2e^x + 2xe^x = 2e^x(1+x)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = -1$ のときです。

$x < -1$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

$x > -1$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極小値をとり、その値は $f(-1) = 2(-1)e^{-1} = -\frac{2}{e}$ です。

次に、極限を調べます。

$\lim_{x \to \infty} 2xe^x = \infty$

$\lim_{x \to -\infty} 2xe^x = 0$ （$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-x}} = 0$ より）

$y = f(x)$ のグラフは、$x=-1$ で極小値 $-\frac{2}{e}$ をとり、$x \to \infty$ で $\infty$ に発散し、$x \to -\infty$ で $0$ に近づきます。

したがって、$y = a$ と $y = f(x)$ のグラフの交点の個数は、以下のようになります。

- $a < -\frac{2}{e}$ のとき、交点なし（解なし）

- $a = -\frac{2}{e}$ のとき、交点1個（解1個）

- $-\frac{2}{e} < a < 0$ のとき、交点2個（解2個）

- $a = 0$ のとき、交点1個（解1個）

- $a > 0$ のとき、交点1個（解1個）

3. 最終的な答え

実数解の個数は、

- $a < -\frac{2}{e}$ のとき、0個

- $a = -\frac{2}{e}$ のとき、1個

- $-\frac{2}{e} < a < 0$ のとき、2個

- $a \ge 0$ のとき、1個