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逆三角関数 $\cos^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ の値を求める問題です。

解析学逆三角関数三角関数角度ラジアン
2025/6/3

1. 問題の内容

逆三角関数 cos⁡−1(−32)\cos^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

cos⁡−1(x)\cos^{-1}(x) は、cos⁡(θ)=x\cos(\theta) = x となるような角度 θ\theta を求める関数です。ただし、θ\theta の範囲は通常 [0,π][0, \pi] (ラジアン) または [0∘,180∘][0^\circ, 180^\circ] (度) です。
つまり、cos⁡(θ)=−32\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2} となる θ\theta を [0,π][0, \pi] の範囲で探します。
cos⁡(π6)=32\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} であることはよく知られています。
cos⁡(θ)=−32\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{3}}{2} となるのは、θ\theta が第2象限または第3象限にあるときです。
θ\theta が第2象限にある場合、θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} となります。この値は [0,π][0, \pi] の範囲内にあります。
cos⁡(5π6)=−32\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} となるため、cos⁡−1(−32)=5π6\cos^{-1}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6} です。

3. 最終的な答え

5π6\frac{5\pi}{6}

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