配管内の水の流れに関する問題です。断面1での噴出速度が$u_1 = 12 \text{ m/s}$のとき、断面2での半径が$5 \text{ cm}$、流速が$u_2 = 6 \text{ m/s}$である場合、噴出する水の流速を$8 \text{ m/s}$または$15 \text{ m/s}$にするためには、断面1での直径をそれぞれどのようにすればよいかを求める問題です。

1. 問題の内容

配管内の水の流れに関する問題です。断面1での噴出速度が$u_1 = 12 \text{ m/s}$のとき、断面2での半径が$5 \text{ cm}$、流速が$u_2 = 6 \text{ m/s}$である場合、噴出する水の流速を$8 \text{ m/s}$または$15 \text{ m/s}$にするためには、断面1での直径をそれぞれどのようにすればよいかを求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、連続の式（質量保存則）を利用して解きます。非圧縮性流体なので、体積流量は一定であるという関係を使います。

連続の式は、$A_1 u_1 = A_2 u_2$で表されます。ここで、$A$は断面積、$u$は流速です。

断面1の直径を$d_1$、断面2の半径を$r_2$とすると、断面積はそれぞれ$A_1 = \pi (d_1/2)^2 = \pi d_1^2 / 4$、$A_2 = \pi r_2^2$となります。

断面2の半径は$r_2 = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$、流速は$u_2 = 6 \text{ m/s}$です。

まず、噴出速度が$u_1 = 8 \text{ m/s}$の場合を考えます。

連続の式より、

$\pi (d_1/2)^2 u_1 = \pi r_2^2 u_2$

$\frac{\pi d_1^2}{4} (8) = \pi (0.05)^2 (6)$

$d_1^2 = \frac{4(0.05)^2 (6)}{8} = \frac{4(0.0025)(6)}{8} = \frac{0.06}{8} = 0.0075$

$d_1 = \sqrt{0.0075} \approx 0.0866 \text{ m} = 8.66 \text{ cm}$

次に、噴出速度が$u_1 = 15 \text{ m/s}$の場合を考えます。

$\pi (d_1/2)^2 u_1 = \pi r_2^2 u_2$

$\frac{\pi d_1^2}{4} (15) = \pi (0.05)^2 (6)$

$d_1^2 = \frac{4(0.05)^2 (6)}{15} = \frac{4(0.0025)(6)}{15} = \frac{0.06}{15} = 0.004$

$d_1 = \sqrt{0.004} = 0.0632 \text{ m} = 6.32 \text{ cm}$

3. 最終的な答え

噴出する水の流速を$8 \text{ m/s}$とするためには、断面1の直径を約$8.66 \text{ cm}$にすれば良い。

噴出する水の流速を$15 \text{ m/s}$とするためには、断面1の直径を約$6.32 \text{ cm}$にすれば良い。