R=20Ωの抵抗とL=0.2Hのインダクタを直列に接続し、交流電源に接続したところ、$i=0.1\sqrt{2}\sin(100t)$[A]の電流が流れた。(a)抵抗の両端の電位差$v_R = Ri$を求めよ。(b)インダクタの両端の電位差$v_L = L \frac{di}{dt}$を$\cos(t)$の形で求めよ。(c)sin+cosをsinに変換し、$v = v_R + v_L$(すなわち、抵抗とインダクタ全体にかかる電圧)を$_ \sin(t+_)$の形で求めよ。

1. 問題の内容

R=20Ωの抵抗とL=0.2Hのインダクタを直列に接続し、交流電源に接続したところ、$i=0.1\sqrt{2}\sin(100t)$[A]の電流が流れた。(a)抵抗の両端の電位差$v_R = Ri$を求めよ。(b)インダクタの両端の電位差$v_L = L \frac{di}{dt}$を$\cos(t)$の形で求めよ。(c)sin+cosをsinに変換し、$v = v_R + v_L$(すなわち、抵抗とインダクタ全体にかかる電圧)を_ \sin(t+_)の形で求めよ。

2. 解き方の手順

(a) 抵抗の両端の電圧$v_R$を求める。

$v_R = Ri$に、$R=20$と$i=0.1\sqrt{2}\sin(100t)$を代入する。

$v_R = 20 \times 0.1\sqrt{2} \sin(100t)$

$v_R = 2\sqrt{2} \sin(100t)$

(b) インダクタの両端の電圧$v_L$を求める。

$v_L = L \frac{di}{dt}$に、$L=0.2$と$i=0.1\sqrt{2}\sin(100t)$を代入する。

$\frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} (0.1\sqrt{2} \sin(100t)) = 0.1\sqrt{2} \times 100 \cos(100t) = 10\sqrt{2} \cos(100t)$

$v_L = 0.2 \times 10\sqrt{2} \cos(100t)$

$v_L = 2\sqrt{2} \cos(100t)$

(c) $v=v_R+v_L$を求める。

$v_R = 2\sqrt{2} \sin(100t)$と$v_L = 2\sqrt{2} \cos(100t)$より、

$v = v_R + v_L = 2\sqrt{2} \sin(100t) + 2\sqrt{2} \cos(100t)$

ここで、$A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t) = R \sin(\omega t + \phi)$の形に変形することを考える。

$R = \sqrt{A^2 + B^2}$、$\tan \phi = \frac{B}{A}$

$A = 2\sqrt{2}, B = 2\sqrt{2}$なので、$R = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8+8} = \sqrt{16} = 4$

$\tan \phi = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 1$なので、$\phi = \frac{\pi}{4}$

したがって、$v = 4 \sin(100t + \frac{\pi}{4})$

3. 最終的な答え

(a) $v_R = 2\sqrt{2} \sin(100t)$ [V]

(b) $v_L = 2\sqrt{2} \cos(100t)$ [V]

(c) $v = 4 \sin(100t + \frac{\pi}{4})$ [V]