断面１から流速 $u_1 = 12$ m/s で噴出している水があります。断面２では半径が 5 cm で流速 $u_2 = 6$ m/s です。噴出する水の流速を 8 m/s または 15 m/s にするために、断面１の直径をそれぞれいくらにすればよいか求める問題です。

1. 問題の内容

断面１から流速 $u_1 = 12$ m/s で噴出している水があります。断面２では半径が 5 cm で流速 $u_2 = 6$ m/s です。噴出する水の流速を 8 m/s または 15 m/s にするために、断面１の直径をそれぞれいくらにすればよいか求める問題です。

2. 解き方の手順

非圧縮性の流体であるため、連続の式が成り立ちます。

断面１の面積を $A_1$、断面２の面積を $A_2$ とすると、

$A_1 u_1 = A_2 u_2$

が成立します。

断面２の半径 $r_2 = 5$ cm = 0.05 m なので、$A_2 = \pi r_2^2 = \pi (0.05)^2 = 0.0025\pi$ m$^2$ です。

$A_1 u_1 = 0.0025\pi u_2$

まず、$u_1 = 8$ m/s の場合を考えます。

$A_1 \times 8 = 0.0025\pi \times 6$

$A_1 = \frac{0.0025\pi \times 6}{8} = \frac{0.015\pi}{8} = 0.001875\pi$ m$^2$

断面１の半径を $r_1$ とすると、$A_1 = \pi r_1^2$ なので、

$\pi r_1^2 = 0.001875\pi$

$r_1^2 = 0.001875$

$r_1 = \sqrt{0.001875} \approx 0.0433$ m

したがって、断面１の直径は $2r_1 = 2 \times 0.0433 \approx 0.0866$ m = 8.66 cm です。

次に、$u_1 = 15$ m/s の場合を考えます。

$A_1 \times 15 = 0.0025\pi \times 6$

$A_1 = \frac{0.0025\pi \times 6}{15} = \frac{0.015\pi}{15} = 0.001\pi$ m$^2$

断面１の半径を $r_1$ とすると、$A_1 = \pi r_1^2$ なので、

$\pi r_1^2 = 0.001\pi$

$r_1^2 = 0.001$

$r_1 = \sqrt{0.001} \approx 0.0316$ m

したがって、断面１の直径は $2r_1 = 2 \times 0.0316 \approx 0.0632$ m = 6.32 cm です。

3. 最終的な答え

噴出する水の流速が 8 m/s の場合、断面１の直径は 8.66 cm です。

噴出する水の流速が 15 m/s の場合、断面１の直径は 6.32 cm です。