この問題は、不定方程式 $13x - 17y = 1$ の整数解 $(x, y)$ について考察する問題です。 (1) 特殊解を求め、(2) 一般解を求め、(3) $x$ と $y$ がともに2桁の正の整数となる解の組の数を求めることが要求されます。

1. 問題の内容

この問題は、不定方程式 $13x - 17y = 1$ の整数解 $(x, y)$ について考察する問題です。

(1) 特殊解を求め、(2) 一般解を求め、(3) $x$ と $y$ がともに2桁の正の整数となる解の組の数を求めることが要求されます。

2. 解き方の手順

(1)

$13x - 17y = 1$ を満たす整数 $x, y$ を見つける。互除法や試行錯誤によって、

$13 \times 4 - 17 \times 3 = 52 - 51 = 1$ であることがわかる。

したがって、シ = 4, ス = 3 である。

このとき、$(x, y) = (4, 3)$ は与えられた方程式の整数解の一つである。

(2)

$13x - 17y = 1$ (1) と $13 \times 4 - 17 \times 3 = 1$ (2) の差をとると

$13(x - 4) - 17(y - 3) = 0$ となる。

つまり、$13(x - 4) = 17(y - 3)$ が成り立つ。

13と17は互いに素なので、$x - 4$ は17の倍数でなければならない。

したがって、$x - 4 = 17n$ ($n$は整数)とおける。よって、$x = 17n + 4$ となる。

これを代入すると、$13(17n) = 17(y - 3)$ となり、$13n = y - 3$ が得られる。

したがって、$y = 13n + 3$ となる。

よって、一般解は $(x, y) = (17n + 4, 13n + 3)$ と表される。

セ = 17n + 4, ソ = 13n + 3 である。したがって、セの解答群は②、ソの解答群は⓪。

(3)

$x = 17n + 4$ と $y = 13n + 3$ がともに2桁の正の整数となる $n$ の範囲を求める。

まず、$x > 9$ より $17n + 4 > 9$, つまり $17n > 5$, よって $n > 5/17 \approx 0.29$

また、$x < 100$ より $17n + 4 < 100$, つまり $17n < 96$, よって $n < 96/17 \approx 5.65$

次に、$y > 9$ より $13n + 3 > 9$, つまり $13n > 6$, よって $n > 6/13 \approx 0.46$

また、$y < 100$ より $13n + 3 < 100$, つまり $13n < 97$, よって $n < 97/13 \approx 7.46$

したがって、$0.46 < n < 5.65$ となり、これを満たす整数 $n$ は $1, 2, 3, 4, 5$ である。

よって、$x, y$ がともに2桁の正の整数となるものは5組ある。

3. 最終的な答え

(1) シ = 4, ス = 3, $(x, y) = (4, 3)$

(2) セ = 17n + 4, ソ = 13n + 3, セの解答群は②、ソの解答群は⓪

(3) タ = 5