断面1から水が流速 $u_1 = 12 \text{ m/s}$ で噴出している配管がある。配管内の断面2の半径は $5 \text{ cm}$ で、流速 $u_2$ が $6 \text{ m/s}$ である。噴出する水の流速を $8 \text{ m/s}$ または $15 \text{ m/s}$ とするために、断面1の直径をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

断面1から水が流速 $u_1 = 12 \text{ m/s}$ で噴出している配管がある。配管内の断面2の半径は $5 \text{ cm}$ で、流速 $u_2$ が $6 \text{ m/s}$ である。噴出する水の流速を $8 \text{ m/s}$ または $15 \text{ m/s}$ とするために、断面1の直径をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、連続の式を適用する。非圧縮性流体であるため、体積流量は一定である。断面1の面積を $A_1$、流速を $u_1$、断面2の面積を $A_2$、流速を $u_2$ とすると、連続の式は $A_1 u_1 = A_2 u_2$ となる。

断面2の面積 $A_2$ は、半径 $r_2 = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ の円であるから、$A_2 = \pi r_2^2 = \pi (0.05)^2 = 0.0025\pi \text{ m}^2$ である。

ケース1：噴出する水の流速が $u_1 = 8 \text{ m/s}$ のとき

連続の式より、

$A_1 \times 8 = 0.0025\pi \times 6$

$A_1 = \frac{0.0025\pi \times 6}{8} = \frac{0.015\pi}{8} = 0.001875\pi \text{ m}^2$

断面1は円形であるから、その半径を $r_1$ とすると、$A_1 = \pi r_1^2$ なので、

$\pi r_1^2 = 0.001875\pi$

$r_1^2 = 0.001875$

$r_1 = \sqrt{0.001875} = 0.0433 \text{ m}$

したがって、断面1の直径 $d_1$ は、

$d_1 = 2r_1 = 2 \times 0.0433 = 0.0866 \text{ m} = 8.66 \text{ cm}$

ケース2：噴出する水の流速が $u_1 = 15 \text{ m/s}$ のとき

連続の式より、

$A_1 \times 15 = 0.0025\pi \times 6$

$A_1 = \frac{0.0025\pi \times 6}{15} = \frac{0.015\pi}{15} = 0.001\pi \text{ m}^2$

断面1は円形であるから、その半径を $r_1$ とすると、$A_1 = \pi r_1^2$ なので、

$\pi r_1^2 = 0.001\pi$

$r_1^2 = 0.001$

$r_1 = \sqrt{0.001} = 0.0316 \text{ m}$

したがって、断面1の直径 $d_1$ は、

$d_1 = 2r_1 = 2 \times 0.0316 = 0.0632 \text{ m} = 6.32 \text{ cm}$

3. 最終的な答え

噴出する水の流速が $8 \text{ m/s}$ のとき、断面1の直径は $8.66 \text{ cm}$。

噴出する水の流速が $15 \text{ m/s}$ のとき、断面1の直径は $6.32 \text{ cm}$。