点 $A(-3, 4)$ を通り、ベクトル $\vec{d} = (2, -1)$ に平行な直線の媒介変数表示を媒介変数 $t$ を用いて求め、さらに $t$ を消去した式で表す。

1. 問題の内容

点 $A(-3, 4)$ を通り、ベクトル $\vec{d} = (2, -1)$ に平行な直線の媒介変数表示を媒介変数 $t$ を用いて求め、さらに $t$ を消去した式で表す。

2. 解き方の手順

直線の媒介変数表示は、点 $A(x_0, y_0)$ を通り、ベクトル $\vec{d} = (a, b)$ に平行な直線上の点 $P(x, y)$ に対して、$\vec{AP} = t \vec{d}$ となる実数 $t$ が存在することから導かれる。すなわち、

$(x - x_0, y - y_0) = t(a, b)$

したがって、

$x - x_0 = at$

$y - y_0 = bt$

となり、

$x = x_0 + at$

$y = y_0 + bt$

と表される。

この問題の場合、$A(-3, 4)$ を通り、$\vec{d} = (2, -1)$ に平行な直線なので、

$x = -3 + 2t$

$y = 4 - t$

これが媒介変数表示である。

次に、$t$ を消去する。$y = 4 - t$ より $t = 4 - y$。これを $x = -3 + 2t$ に代入すると、

$x = -3 + 2(4 - y)$

$x = -3 + 8 - 2y$

$x = 5 - 2y$

したがって、

$x + 2y = 5$

これが $t$ を消去した式である。

3. 最終的な答え

媒介変数表示：

$x = -3 + 2t$

$y = 4 - t$

$t$ を消去した式：

$x + 2y = 5$