曲線 $C_1: y = x^3$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動した曲線を $C_2$ とする。ただし、$a > 0$ とする。 (1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) $a$ が (1) の範囲にあるとき、$C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分の面積 $S$ を $a$ を用いて表せ。 (3) (2) の $S$ の最大値を求めよ。また、そのときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $C_1: y = x^3$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $a$ だけ平行移動した曲線を $C_2$ とする。ただし、$a > 0$ とする。

(1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) $a$ が (1) の範囲にあるとき、$C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分の面積 $S$ を $a$ を用いて表せ。

(3) (2) の $S$ の最大値を求めよ。また、そのときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$C_2$ の方程式は $y - a = (x-a)^3$ なので、$y = (x-a)^3 + a$ である。

$C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は、

$x^3 = (x-a)^3 + a$

$x^3 = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3 + a$

$3ax^2 - 3a^2x + a^3 - a = 0$

$3x^2 - 3ax + a^2 - 1 = 0$ ($a>0$ より $a$ で割って)

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件を考える。

判別式を $D$ とすると、

$D = (-3a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (a^2 - 1) = 9a^2 - 12a^2 + 12 = -3a^2 + 12 > 0$

$3a^2 < 12$

$a^2 < 4$

$-2 < a < 2$

$a > 0$ より $0 < a < 2$。

また、判別式がゼロになるのは、$a=2$のときである。このとき、$x=\frac{3a}{2\cdot 3}=1$。

このとき、$x=1$なので、２つのグラフの交点は、$x=1$のとき、$y=1$となる。

他方、$y=(x-2)^3 + 2$なので、$x=1$を代入すると、$y=(1-2)^3+2 = -1 + 2 = 1$。したがって、確かに、$a=2$のときには、$x=1$の点で接している。

さらに、$x=0$のときには、$y=0$である。他方、$y = (x-a)^3 + a$に代入すると、$y=(-a)^3+a = -a^3 + a$となる。これがゼロになるとき、$a(a^2-1) = 0$。したがって、$a=0,1,-1$となる。$a>0$より、$a=1$となる。

したがって、異なる2点で交わるための条件は、$0<a<2$。

(2)

$3x^2 - 3ax + a^2 - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、

$\alpha + \beta = a$

$\alpha \beta = \frac{a^2 - 1}{3}$

$S = \int_\alpha^\beta \{x^3 - (x-a)^3 - a\} dx = \int_\alpha^\beta (3ax^2 - 3a^2x + a - a^3) dx$

$S = \int_\alpha^\beta 3a(x^2 - ax + \frac{a^2-1}{3} - \frac{a^2-1}{3} + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4}) dx$

$S = a\int_{\alpha}^{\beta} \{ 3x^2 - 3ax + a^2 - 1 \} dx = a\int_{\alpha}^{\beta} \{ 3(x-\alpha)(x-\beta) \} dx$

$S = -3a\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -3a \cdot (-\frac{1}{6})(\beta - \alpha)^3 = \frac{a}{2}(\beta - \alpha)^3$

$(\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = a^2 - 4\frac{a^2 - 1}{3} = \frac{3a^2 - 4a^2 + 4}{3} = \frac{4 - a^2}{3}$

$\beta - \alpha = \sqrt{\frac{4 - a^2}{3}}$

$S = \frac{a}{2} (\frac{4 - a^2}{3})^{3/2} = \frac{a(4 - a^2)^{3/2}}{2 \cdot 3^{3/2}} = \frac{a(4 - a^2)^{3/2}}{2 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{a(4 - a^2)^{3/2}}{6\sqrt{3}}$

(3)

$S = \frac{a}{6\sqrt{3}} (4 - a^2)^{3/2}$

$S^2 = \frac{a^2}{108} (4 - a^2)^3$

$t = a^2$ とおくと、$0 < t < 4$

$S^2 = \frac{t}{108} (4 - t)^3$

$\frac{d(S^2)}{dt} = \frac{1}{108} [(4 - t)^3 + t \cdot 3(4 - t)^2 (-1)] = \frac{(4-t)^2}{108} [4 - t - 3t] = \frac{(4-t)^2}{108} (4 - 4t) = \frac{4(4-t)^2}{108} (1 - t) = \frac{(4-t)^2}{27} (1 - t)$

$\frac{d(S^2)}{dt} = 0$ となるのは、$t = 1, 4$

$0 < t < 4$ より、$t = 1$ のとき最大となる。

$t = 1$ より $a^2 = 1$, $a = 1$ ($a > 0$)

$S = \frac{1}{6\sqrt{3}} (4 - 1)^{3/2} = \frac{1}{6\sqrt{3}} 3^{3/2} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $0 < a < 2$

(2) $S = \frac{a(4-a^2)^{3/2}}{6\sqrt{3}}$

(3) $S$ の最大値は $\frac{1}{2}$, そのときの $a$ の値は $1$