与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ (2) $bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b)$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$

(2) $bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

この式を$a$について整理します。

$a^2b + ca^2 + ab^2 + 2abc + bc^2 + b^2c = (b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + bc(b+c)$

$= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

$(b+c)$でくくり出すことができます。

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] = (b+c)(a^2 + ba + ca + bc) = (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

(2)

式を展開します。

$bc(b-c) + ca(c-a) + ab(a-b) = b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2$

これを$a$について整理します。

$a^2(b-c) + a(c^2 - b^2) + (b^2c - bc^2)$

$a^2(b-c) + a(c-b)(c+b) + bc(b-c)$

$(b-c)$でくくり出すことを考えます。$a(c-b)(c+b)$の項は$a(c^2 - b^2) = -a(b^2 - c^2) = -a(b-c)(b+c)$なので、

$(b-c)$でくくり出すと、

$(b-c)[a^2 - a(b+c) + bc]$

$= (b-c)[a^2 - ab - ac + bc]$

$= (b-c)[a(a-b) - c(a-b)]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

または、$(a-b)(c-b)(a-c)$

または、$(a-b)(b-c)(a-c)$

または、$(b-c)(a-c)(a-b)$

または、$(c-a)(a-b)(b-c)$

または、$(a-c)(c-b)(a-b)$

または、$(c-b)(a-c)(a-b)$